第4章 第3课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [考试要求]　 1．会推导两角差的余弦公式． 2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)：cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (5)公式T(α－β)：tan (α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan (α＋β)＝． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2α＝． [常用结论] 两角和与差的公式的常用变形 (1)sinαsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β). 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　) (2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定． (　　) (3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． (　　) (4)sin α＋cos α＝2sin . (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin 等于(　　) A．－　　 B．　　 C．－　　 D． C　[∵α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.] 2．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－ B． C．－ D． D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝.故选D.] 3．(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)计算：＝________． 　[＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝.] 4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T12(2)改编)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝______． 　[∵tan 60°＝tan (10°＋50°) ＝， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°) ＝－tan 10°tan 50°，∴原式＝－tan 10°·tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.] 考点一　公式的直接应用 [典例1]　已知α∈，sin α＝. (1)求sin 的值； (2)求cos 的值． [解]　(1)因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－， 故sin＝sin cos α＋cos sin α ＝×＋×＝－. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－. 　应用公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． 例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [跟进训练] 1．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A．　 B．　　 C．　 D． A　[法一：因为tan 2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A. 法二：因为tan 2α＝＝＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A.] 2．已知cos ＝cos α，tan β＝，则tan (α＋β)＝________． －　[因为cos ＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝