第4章 第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第2课时　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 [考试要求]　 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α． 2．掌握诱导公式，并会简单应用． 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tanα＝． 2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan_α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 [常用结论] 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α). (2)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (3)sin α＝tan αcos α. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (　　) (2)若α∈R，则tanα＝恒成立． (　　) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (　　) (4)若sin ＝，则cos α＝－. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(　　) A．－2　 B．2　　 C．　 D．－ D　[因为≤α≤π，所以cos α＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.] 2．(人教A版必修第一册P186 T15改编)已知tan α＝，则的值为________． －　[原式＝＝＝－.] 3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为________． －sin2α　[原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.] 4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8改编)已知sin＝，则cos ＝____________； sin ＝________． 　　[因为＋＝，所以cos＝cos ＝sin ＝. sin＝sin ＝sin ＝.] 考点一　同角三角函数的基本关系式 　“知一求二”问题 [典例1]　(1)若α∈，sin (π－α)＝，则tan α＝(　　) A．－　 B．　　 C．－　 D． (2)已知tan α＝2，π＜α＜，则sin α＋cos α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． (1)C　(2)A　[(1)因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝－，所以tan α＝－，故选C. (2)由tan α＝＝2，得sin α＝2cos α. 代入sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝. 又π＜α＜，所以cosα＝－，sin α＝tan αcos α＝－， 所以sin α＋cos α＝－， 故选A.] 　关于sin α，cos α齐次式的求值问题 [典例2]　已知＝－1，求下列各式的值： (1)； (2)sin2α＋sinαcos α＋2. [解]　由已知得tan α＝. (1)＝＝－. (2)sin2α＋sinαcos α＋2 ＝＋2 ＝＋2 ＝＋2＝. 　sinα±cos α与sin αcos α关系的应用 　(链接常用结论)已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值； (2)求的值． [解]　(1)由sin x＋cos x＝， 平方得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝， 整理得2sinx cos x＝－. ∴(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝. 由x∈(－π，0)，知sin x＜0， 又sin x＋cos x＞0， ∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0， 故sin x－cos x＝－. (2)＝ ＝ ＝＝－. 　1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． [跟进训练] 1．(1)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C．