第4章 第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

【教师备选资源】 新高考卷三年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 高考中一般考查1～2道小题、1道解答题，占17～22分． 2.考查内容 (1)客观题主要以化简求值、函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质为主．试题侧重公式的变形和对图象性质的研究，难度中等． (2)解答题一般考查应用正、余弦定理解三角形．对于空间距离、高度、角度等的测量问题也要引起重视． 第1课时　任意角和弧度制、三角函数的概念 [考试要求]　 1．了解任意角的概念和弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α． (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αR 扇形面积公式 S＝lR＝αR2 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α 正切 叫做α的正切函数，记作tan α (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0). [常用结论] 1．三角函数值在各象限的符号规律 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角 3．轴线角 4．若α∈，则tan α>α>sin α. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角是锐角． (　　) (2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是. (　　) (3)若sin α>0，则α是第一、第二象限的角． (　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P180例3改编)若sin α<0，且tan α>0，则α是(　　) A．第一象限角　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [答案]　C 2．(人教A版必修第一册P175习题5.1T1改编)(多选)下列四个命题中，正确的是(　　) A．－是第二象限角 B．是第三象限角 C．－400°是第四象限角 D．－315°是第一象限角 BCD　[－是第三象限角，故A错误；＝π＋，从而是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．] 3．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________． 　　[单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，所以l＝，S扇形＝lr＝××1＝.] 4．(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________． －　　－　[因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝＝.于是sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，tan α＝＝－.] 考点一　任意角 [典例1]　(1)(易错题)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) (2)(链接常用结论2)已知α为第三象限角，则是第________象限角，2α是______________的角． (1)C　(2)二、四　第一、二象限或y轴的非负半轴上　[(1)由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z). (2)∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z， ∴k