第3章 高考研究在线3 泰勒公式与超越不等式在导数中的应用(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

对同学们来说， “ex≥1＋x”“x－1≥ln x，x∈(0，＋∞)”“sin x <x<tan x”这三个不等式并不陌生，均源自教材习题．三个不等式看似平淡无奇，实际上，其隐含了深厚的高等数学背景，且均来源于《数学分析》中的泰勒公式(人教A版必修第一册P256T26仅展示了sin x及cos x的泰勒公式)，熟知ex 、ln x、sin x及cos x的泰勒展开式，可以快速解答与之相关的试题． 1．泰勒公式 若f (x)在x＝0点有n阶导数，那么 f (x)＝f (0)＋f ′(0)x＋x2＋…＋xn＋o(xn)(泰勒公式：在x＝0时的麦克劳林公式)， 于是：(1)ex＝1＋x＋＋＋…＋＋o(xn)，x∈R； (2)＝1＋x＋x2＋…＋xn＋o(xn)，x∈(－1，1)； (3)ln (1＋x)＝x－＋－…＋(－1)n－1＋o(xn)，x∈(－1，1]； (4)cos x＝1－＋－…＋(－1)n＋o(x2n)，x∈R； (5)sin x＝x－＋－…＋(－1)n－1＋o(x2n－1)，x∈R. 2．两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用) (1)对数型超越放缩：≤ln x≤x－1(x＞0)， ln (1＋x)＝x－x2＋x3－…＋(－1)n－1xn＋Rn(x)…(1). 上式(1)中等号右边只取第一项得：ln (1＋x)≤x(x＞－1)……结论①； 用x－1替换上式结论①中的x得：ln x≤x－1(x＞0)……结论②； 对于结论②左右两边同乘“－1”得－ln x≥1－x⇒ln ≥1－x，用替换“x”得： 1－≤ln x(x＞0)……结论③. (2)指数型超越放缩：x＋1≤ex≤(x＜1)， ex＝1＋x＋＋…＋＋Rn(x)…(2). 上式(2)中等号右边只取前2项得：ex≥1＋x(x∈R)……结论①； 用－x替换上式结论①中的x得：e－x≥1－x(x∈R)……结论②； 当x＜1时，对于上式结论②e－x≥1－x⇒≥1－x⇒≥ex……结论③； 当x＞1时，对于上式结论②e－x≥1－x⇒≥1－x⇒≤ex……结论④. 命题点一　比较大小 [典例1]　(1)(2022·新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a<b<c　　 B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b (2)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b (1)C　(2)A　[(1)法一 (构造法)：构造函数f (x)＝ln x＋，x>0，则f ′(x)＝－，x>0， 当f ′(x)＝0时，x＝1， ∴0<x<1时，f ′(x)<0，f (x)单调递减； x>1时，f ′(x)>0，f (x)单调递增． ∴f (x)在x＝1处取最小值f (1)＝1， ∴ln x>1－， ∴ln 0.9>1－＝－，∴－ln 0.9<，∴c<b. ∵－ln 0.9＝ln >1－＝， ∴>e0.1，∴0.1e0.1<，∴a<b. ∵0.1e0.1>0.1×1.1＝0.11， 而－ln 0.9＝ln<＝<0.11， ∴a>c, ∴c<a<b.故选C. 法二(利用不等式)：由不等式ln x<， 得－ln 0.9＝ln <＝<0.11， 又因为e0.1>0.1＋1＝1.1，所以a＝0.1e0.1>0.11， 所以c<a； 由ex≥x＋1，得e－x>－x＋1，得ex<，所以e0.1<＝， 所以a＝0.1e0.1<＝.所以a<b，综上c<a<b.故选项C正确． 法三(泰勒公式)：设x＝0.1，则 a＝xex＝0.1， b＝＝0.1(1＋0.1＋0.01＋0.001＋…)， c＝－ln (1－x)＝0.1＋＋＋…， ∴c＜a＜b.故选C. (2)法一(构造法)：设f (x)＝cos x＋x2－1(0<x<1)，则f ′(x)＝x－sin x， 设g(x)＝x－sin x(0<x<1)，g′(x)＝1－cos x>0， 故g(x)在(0，1)上单调递增， 即g(x)>g(0)＝0， 即f ′(x)>0，故f (x)在(0，1)上单调递增， 所以f >f (0)＝0，可得cos >，故b>a， 利用不等式可得x∈时，tan x>x， ∴tan >，即>， ∴4sin >cos ，故c>b. 综上：c>b>a，故选A. 法二(泰勒公式)： 设x＝0.25，则 a＝1－＝1－， b＝cos x＝1－＋＋…， c＝＝1－＋＋…， ∴a＜b＜c.故选A.] 　熟知泰勒公式，可以较灵活地解答此类比较大小的试题． [跟进训练] 1．(1)已知a＝e0.02，b＝1.02，c＝ln 2.02，则(　　) A．c>a>b B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c (2)(2023·吉