第3章 高考培优3 极值点偏移问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

　极值点偏移问题 1．极值点偏移的判定定理 对于可导函数y＝f (x)在区间(a，b)上只有一个极大(小)值点x0，方程f (x)＝0的解分别为x1，x2，且a＜x1＜x2＜b. (1)若0＝f (x1)＜f (2x0－x2)，则＜(＞)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上极大(小)值点x0右(左)偏 ； (2)若0＝f (x1)＞f (2x0－x2)，则＞(＜)x0，即函数y＝f (x)在区间(x1，x2)上极大(小)值点x0左(右)偏 . 　 　 2．极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数： 对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f (x)－f (2x0－x)； 对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f (x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． [典例]　已知函数f (x)＝ln x－ax(x＞0)，a为常数，若函数f (x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，证明：x1x2＞e2. [证明]　法一(对称化构造法)：由题意知，函数f (x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)， 即f (x1)＝f (x2)＝0，易知ln x1，ln x2是方程x＝aex的两个不相等的根． 设t1＝ln x1，t2＝ln x2，g(x)＝xe－x， 则g(t1)＝g(t2)，故要证x1x2＞e2， 即证ln x1＋ln x2＞2，即证t1＋t2＞2. 下证：t1＋t2＞2. g′(x)＝(1－x)e－x，易得g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数g(x)在x＝1处取得极大值(也是最大值)g(1)＝. 当x→－∞时，g(x)→－∞； 当x→＋∞时，g(x)→0且g(x)＞0. 由g(t1)＝g(t2)，t1≠t2，不妨设t1＜t2，作出函数g(x)的图象，如图所示，由图知必有0＜t1＜1＜t2， 令F(x)＝g(1＋x)－g(1－x)，x∈(0，1]， 则F′(x)＝(e2x－1)＞0， 所以F(x)在(0，1]上单调递增， 所以F(x)＞0对任意的x∈(0，1]恒成立， 即g(1＋x)＞g(1－x)对任意的x∈(0，1]恒成立，由0＜t1＜1＜t2，得1－t1∈(0，1)， 所以g(1＋1－t1)＝g(2－t1)＞g[1－(1－t1)]＝g(t1)＝g(t2)， 即g(2－t1)＞g(t2)， 又2－t1∈(1，2)，t2∈(1，＋∞)，且g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 所以2－t1＜t2，所以t1＋t2＞2，即x1x2＞e2. 法二(比值换元法)：不妨设x1>x2>0， 因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0， 所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以＝a， 欲证x1x2>e2，即证ln x1＋ln x2>2. 因为ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)， 所以即证a>， 所以原问题等价于证明>， 即ln >， 令t＝(t>1)，则不等式变为ln t>. 令h(t)＝ln t－，t>1， 所以h′(t)＝－＝>0， 所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(t)>h(1)＝ln 1－0＝0， 即ln t－>0(t>1)， 因此原不等式x1x2>e2得证． 　解决极值点偏移问题的步骤 (1)求导，获得f (x)的单调性，极值情况，作出f (x)的图象，由f (x1)＝f (x2)得x1，x2的取值范围(数形结合). (2)构造辅助函数： ①对结论x1＋x2＞(＜)2x0，构造F(x)＝f (x)－f (2x0－x). ②对结论x1x2＞(＜)x，构造F(x)＝f (x)－f ，求导，限定范围(x1或x2的范围)，判定符号，获得不等式． (3)代入x1(或x2)，利用f (x1)＝f (x2)及f (x)的单调性证明最终结论． [跟进训练] (2022·全国甲卷节选)已知函数f (x)＝－ln x＋x－a.证明：若f (x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1. [证明]　法一：由题意知f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝，可得函数f (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 由题知， f (x)的一个零点小于1，一个零点大于1， 不妨设0＜x1＜1＜x2， 要证x1x2＜1，即证x1＜， 因为x1，∈(0，1)，即证f (x1)＞f ， 因为f (x1)＝f (x2)，即证f (x2)＞f ， 即证－ln x＋x－xe－ln x－＞0，x∈(1，＋∞)， 即证－xe－2＞0， 下面证明当x＞1时，－xe＞0，ln x－＜0. 设g(x)＝－xe，x