第3章 高考培优2 构造函数妙解题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

　构造函数妙解题 题型一　解不等式 　f ′(x)g(x)±f (x)g′(x)型 [典例1]　设f (x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f (x)g(x)<0的解集是________． (－∞，－3)∪(0，3)　[借助导数的运算法则，f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)>0⇔[f (x)g(x)] ′>0，所以函数y＝f (x)g(x)在(－∞，0)上单调递增．又由题意知函数y＝f (x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(0，0)，(3，0).数形结合(图略)可求得不等式f (x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0，3).] 　(1)对于不等式f ′(x)±g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f (x)±g(x). 特别地，对于不等式f ′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f (x)－kx. (2)对于不等式f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f (x)g(x)； (3)对于不等式f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0). [跟进训练] 1．设f (x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)>0且f (3)＝0，则不等式f (x)g(x)>0的解集是(　　) A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) A　[设函数F(x)＝， ∵F(－x)＝＝＝－F(x), ∴函数F(x)是R上的奇函数，当x<0时，f ′(x)g(x)－f (x)g′(x)>0，且f (3)＝0, ∴当x＜0时，F′(x)＝>0，F(3)＝0, ∴F(x)在(－∞，0)上为增函数，且F(－3)＝0， ∴当x∈(－3，0)时，F(x)>0，此时，f (x)g(x)>0； ∵函数F(x)是R上的奇函数， ∴当x∈(3，＋∞)时，F(x)>0，此时，f (x)g(x)>0.综上，不等式f (x)g(x)>0的解集是(－3，0)∪(3，＋∞).故选A.] 　xf ′(x)±nf (x)型 [典例2]　(1)已知偶函数f (x)(x≠0)的导函数为f ′(x)，且满足f (－1)＝0，当x＞0时，2f (x)＞xf ′(x)，则使得f (x)＞0成立的x的取值范围是________． (2)设f (x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f (x)＋xf ′(x)＜0，且f (－4)＝0，则不等式xf (x)＞0的解集为________． (1)(－1，0)∪(0，1)　(2)(－∞，－4)∪(0，4)　[(1) 构造F(x)＝， 则F′(x)＝， 当x＞0时，xf ′(x)－2f (x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减． ∵f (x)为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f (－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1). (2)构造F(x)＝xf (x)，则F′(x)＝f (x)＋xf ′(x)，当x＜0时，f (x)＋xf ′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f (x)为偶函数，y＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f (－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf (x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0，4).] 　(1)对于不等式nf (x)＋xf ′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf (x)； (2)对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝. [跟进训练] 2．设f (x)是定义在R上的偶函数，且f (1)＝0，当x＜0时，有xf ′(x)－f (x)＞0恒成立，则不等式f (x)＞0的解集为________． (－∞，－1)∪(1，＋∞)　[ 构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＜0时，xf ′(x)－f (x)＞0，可以推出当x＜0时，F′(x)＞0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f (x)为偶函数，y＝x为奇函数，∴F(x)为奇函数， ∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f (1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(如图所示)，根据图象可知f (x)＞0