第3章 第6课时 利用导数解决函数的零点问题(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第6课时　利用导数解决函数的零点问题 考点一　判断、证明或讨论函数零点的个数 [典例1]　已知函数f (x)＝x sin x－.判断函数f (x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明． [解]　f (x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下： 因为f ′(x)＝sin x＋xcos x， 当x∈时，f ′(x)＞0. 又f (x)＝xsin x－，从而有f (0)＝－＜0，f ＝＞0， 且f (x)在上的图象是连续不断的， 所以f (x)在内至少存在一个零点． 又f (x)在上单调递增，故f (x)在内有且只有一个零点． 当x∈时，令g(x)＝f ′(x)＝sin x＋xcos x. 由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不断的， 故存在m∈，使得g(m)＝0. 由g′(x)＝2cos x－xsin x， 知x∈时，有g′(x)＜0， 从而g(x)在内单调递减． 当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f ′(x)＞0， 从而f (x)在内单调递增， 故当x∈时，f (x)＞f ＝＞0， 故f (x)在上无零点； 当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0， 即f ′(x)＜0，从而f (x)在(m，π)内单调递减． 又f (m)＞0，f (π)＜0，且f (x)在(m，π)上的图象是连续不断的，从而f (x)在(m，π)内有且仅有一个零点． 综上所述，f (x)在(0，π)内有且只有两个零点． 【教师备选题】 设函数f (x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f (x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f ′(x)－的零点个数． [解]　(1)由题意知，当m＝e时，f (x)＝ln x＋(x＞0)，则f ′(x)＝， ∴当x∈(0，e)时，f ′(x)＜0，f (x)在(0，e)上单调递减； 当x∈(e，＋∞)时，f ′(x)＞0，f (x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f (x)取得极小值f (e)＝ln e＋＝2， ∴f (x)的极小值为2. (2)由题意知g(x)＝f ′(x)－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0). 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1). 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知， ①当m＞时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点． 　利用导数求函数的零点常用方法 (1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数． (2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点． [跟进训练] 1．已知函数f (x)＝ln x＋kx＋2，讨论y＝f (x)－2的零点个数． [解]　由y＝f (x)－2＝0得ln x＝－kx， 因为x>0，所以k＝， 令h (x)＝，则 h′ (x)＝－， 当x>e时，h′ (x)>0，h (x)单调递增， 当0<x<e时，h′ (x)<0，h (x)单调递减， 所以h (x)≥h ＝－， 当x>e时，>0，所以<0， 当x＝时，－>0， 所以h (x)＝的图象如图所示， 所以当k<－时，y＝f (x)－2无零点； 当k＝－或k≥0时，y＝f (x)－2只有一个零点； 当－<k<0时，y＝f (x)－2有两个零点． 【教师备选题】 (2021•新高考Ⅱ卷节选)已知函数f (x)＝(x－1)ex－ax2＋b.从下面两个条件中选一个，证明：f (x)恰有一个零点． ①<a≤，b>2a；②0<a<，b≤2a. [证明]　f ′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a). 若选①，令f ′(x)＝0， 可得x＝0或x＝ln (2a). ∵<a≤， ∴当x<0或x>ln (2a)时，f ′(x)>0， 当0<x<ln (2a)时，f ′(x)<0， ∴f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln (2a))上单调递减，在(ln (2a)，＋∞)上单调递增． 注意到f ＝e－<0，f (0)＝b－1>2a－1>0. ∴f (x)在 上有一个零点； 又f (ln (2a))＝