第3章 第4课时 利用导数证明不等式(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第4课时　利用导数证明不等式 考点一　移项构造法证明不等式 [典例1]　 设f (x)＝2x ln x＋1，证明：f (x)≤x2－x＋＋2ln x. [证明]　x2－x＋＋2ln x－f (x) ＝x(x－1)－－2(x－1)ln x ＝(x－1)·， 令g(x)＝x－－2ln x， 则g′(x)＝1＋－＝≥0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(1)＝0， 所以当0＜x＜1时，g(x)＜0， 当x＞1时，g(x)＞0， 所以(x－1)≥0， 即f (x)≤x2－x＋＋2ln x． 【教师备选题】 证明：当x>1时，x2＋ln x<x3. [证明]　设g(x)＝x3－x2－ln x， 则g′(x)＝2x2－x－，因为当x＞1时， g′(x)＝＞0， 所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数， 所以当x>1时，g(x)＞g(1)＝＞0， 所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3. 　待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． [跟进训练] 1．证明：当x∈[0，2]时，x2e2x－2≥－2x2＋8x－5. [证明]　令g(x)＝x2e2x－2＋2x2－8x＋5, x∈[0，2]， 则g′(x)＝2e2x－2(x2＋x)＋4x－8，x∈[0，2]. 令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2e2x－2(2x2＋4x＋1)＋4>0，所以g′(x)在[0，2]上单调递增，且g′(1)＝0， 所以g(x)在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0，所以g(x)≥0，即x2e2x－2≥－2x2＋8x－5. 考点二　隔离分析法证明不等式 [典例2]　设函数f (x)＝aexln x＋，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2. (1)求a，b； (2)求证：f (x)>1. [解]　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝aex＋， 依题意得解得a＝1，b＝2. (2)证明：由(1)知f (x)＝exln x＋，从而f (x)>1等价于x ln x>xe－x－. 构造函数g(x)＝x ln x(x>0)，则g′(x)＝1＋ln x，所以当x∈时，g′(x)<0，当x∈时，g′(x)>0，故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.构造函数h(x)＝xe－x－(x>0)，则h′(x)＝e－x(1－x)，所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，故h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－. 综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f (x)>1. 　在同时含ln x与ex的不等式证明中，常采用把对数单独分离的方式，把待证不等式分离．如本例中直接构造函数，求导运算比较复杂，此时把指数与对数分离两边，构造两个函数，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． [跟进训练] 2．已知函数f (x)＝x ln x－ax. (1)当a＝－1时，求函数f (x)在(0，＋∞)上的最值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1＞－成立． [解]　(1)函数f (x)＝x ln x－ax的定义域为(0，＋∞). 当a＝－1时，f (x)＝x ln x＋x，f ′(x)＝ln x＋2. 由f ′(x)＝0，得x＝. 当x∈时，f ′(x)＜0； 当x∈时，f ′(x)＞0. 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．因此f (x)在x＝处取得最小值，即f (x)min＝f ＝－，但f (x)在(0，＋∞)上无最大值． (2)证明：当x＞0时，ln x＋1＞－等价于x(ln x＋1)＞－. 由(1)知a＝－1时，f (x)＝x ln x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号． 设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)， 则G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－， 当且仅当x＝1时取到， 从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f (x)＞G(x)， 即ln x＋1＞－. 考点三　放缩后构造函数证明不等式 [典例3]　(12分)设函数f (x)＝ex＋a·sin x＋b(a，b为实数)，且曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为x－y－1＝0. (1)求a，b的值； (2)求证：当x∈(0，＋∞)时，f (x)＞ln x. [规范解答]　(1)f ′(x)＝ex＋a cos x，且f (0)＝1＋b. 由题意得f ′(0)＝e0＋a＝1⇒a＝0. ····································2分 又(0，1＋b)在切线x－y