第3章 第3课时 函数的极值与最大(小)值(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第3课时　函数的极值与最大(小)值 [考试要求]　 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． 2．会用导数求函数的极大值、极小值． 3．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0．则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0．则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 提醒：对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [常用结论] 若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大． (　　) (2)函数y＝f ′(x)的零点是函数y＝f (x)的极值点． (　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值． (　　) (4)函数在某区间上的极大值是唯一的． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为(　　) A．1　 B．2　　 C．3　　 D．4 A　[由题意知在x＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x＝－1左减右增，f (x)在x＝－1处取得极小值．故选A.] 2．(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)函数f (x)＝2x－x ln x的极大值是(　　) A． B． C．e D．e2 C　[f ′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f ′(x)＝0，得x＝e.当0＜x＜e时，f ′(x)＞0；当x＞e时，f ′(x)＜0.所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e.] 3．(人教A版选择性必修第二册P104T9改编)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为(　　) A．4 B．2或6 C．2 D．6 C　[函数f (x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝3x2－4cx＋c2. 由题意知，f (x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6. 又函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正．当c＝2时，f (x)＝x(x－2)2的导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，即在x＝2处有极小值．而当c＝6时，f (x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值．故c＝2.] 4．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f (x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________． 4　[f ′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f ′(x)<0，当x∈(2，3]时，f ′(x)>0，所以f (x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4.] 考点一　利用导数研究函数的极值 　根据函数的图象判断函数的极值 [典例1]　(多选)已知函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f (x)有极大值f (2) B．函数f (x)有极大值f (－2) C．函数f (x)有极小值f (－2) D．函数f (x)有极小值f (2) BD　[由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；当－2<x<1时，f ′(x)<0；当1<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时