第3章 第2课时 导数与函数的单调性(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第2课时　导数与函数的单调性 [考试要求]　 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f ′(x)>0 f (x)在区间(a，b)上单调递增 f ′(x)<0 f (x)在区间(a，b)上单调递减 f ′(x)＝0 f (x)在区间(a，b)上是常数函数 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性． [常用结论] 1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f ′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立． 2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f ′(x)<0有解． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f (x)在此区间内没有单调性． (　　) (2)若函数f (x)在[a，b]上连接，在(a，b)内f ′(x)≤0且f ′(x)＝0的根有有限个，则f (x)在(a，b)内单调递减． (　　) (3)若函数f (x)在定义域上都有f ′(x)>0，则f (x)在定义域上一定单调递增． (　　) (4)函数f (x)＝x－sin x在R上是增函数． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P103T3改编)f ′(x)是f (x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的图象可能是(　　) A　　　B　 　　C　 　　D C　[由f ′(x)的图象知， 当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0， ∴f (x)单调递增； 当x∈(0，x1)时，f ′(x)<0，∴f (x)单调递减； 当x∈(x1，＋∞)时，f ′(x)>0， ∴f (x)单调递增．] 2．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f (x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 D　[因为f ′(x)＝－sin x－1＜0在(0，π)上恒成立， 所以f (x)在(0，π)上是减函数，故选D.] 3．(人教A版选择性必修第二册P97 习题5.3T1改编)函数f (x)＝x－ln x的单调递减区间为________． (0，1)　[函数f (x)的定义域为{x|x＞0}，由f ′(x)＝1－＜0，得0＜x＜1， 所以函数f (x)的单调递减区间为(0，1).] 4．(人教A版选择性必修第二册P87 例3改编)已知f (x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________． 3　[f ′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2， 又因为x∈[1，＋∞ )，所以a≤3，即a的最大值是3.] 考点一　不含参数的函数的单调性 [典例1]　　 已知函数f (x)＝(k为常数)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与x轴平行． (1)求实数k的值； (2)求函数f (x)的单调区间． [解]　(1)由题意知f ′(x)＝(x＞0)， 又f ′(1)＝＝0，所以k＝1. (2)由(1)得f ′(x)＝(x＞0). 设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0， 所以f ′(x)＞0； 当x＞1时，h(x)＜0，所以f ′(x)＜0. 综上，f (x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞). 　确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x)的定义域； (2)求f ′(x)； (3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． [跟进训练] 1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f (x)＝sin 2x　　 B．f (x)＝xex C．f (x)＝x3－x D．f (x)＝－x＋ln x B　[对于A，f (x)＝sin 2x的单调递增区间是(k∈Z)；对于B，f