第3章 第1课时 导数的概念及运算(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

【教师备选资源】 新高考卷三年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 一般考查1～2道小题和1道解答题，分值占17～22分． 2.考查内容 (1)小题的考查一般以导数的几何意义和研究函数的性质为主． (2)解答题一般设置两问，第(1)问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点、函数单调性的讨论等．第(2)问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题． 第1课时　导数的概念及运算 [考试要求]　 1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． 2．通过函数图象，理解导数的几何意义． 3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′，即f ′(x0)＝ ＝ . 提醒：f ′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值；(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，且(f (x0))′＝0. (2)当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)，记为f ′(x)(或y′)，即f ′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈R，α≠0) f ′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln_a f (x)＝ex f ′(x)＝ex f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f ′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)； (2)[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[cf (x)]′＝cf ′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))． (2)复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [常用结论] 函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率． (　　) (2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0). (　　) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (　　) (4)函数f (x)＝sin (－x)的导数是f ′(x)＝cos x． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒　　　 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 C　[h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.] 2．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)已知函数f (x)的图象如图，f ′(x)是f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2) B．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2) C．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2