第2章 高考研究在线2 高考试题中的抽象函数(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

抽象函数问题是近三年新高考命题的热点，因为没有给出具体的函数解析式，对数学抽象和逻辑推理的要求较高，成为高考数学的一大难点．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解．具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法． 命题点一　与奇偶性、对称性相关的求值问题 [典例1]　(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x).若f ，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f (0)＝0　　 B．g＝0 C．f (－1)＝f (4) D．g(－1)＝g(2) BC　[因为f ，g(2＋x)均为偶函数， 所以f ＝f ， 即f ＝f ，g(2＋x)＝g(2－x)， 所以f (3－x)＝f (x)，g(4－x)＝g(x)，则f (－1)＝f (4)，故C正确； 函数f (x)，g(x)的图象分别关于直线x＝，x＝2对称， 又g(x)＝f ′(x)，且函数f (x)可导，所以g＝0，g(3－x)＝－g(x)， 所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)， 所以g＝g＝0， g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误； 若函数f (x)满足题设条件，则函数f (x)＋C(C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x)的函数值，故A错误． 故选BC.] 　本题改编于2021年新高考Ⅱ卷T8，对照两题，发现多了一个条件“g(x)＝f ′(x)”，看似波澜不惊，实则隐含信息较多，难度陡然翻倍．实际上，原函数与导函数之间存在一些性质． 设函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域为R，则如下3个性质成立： (1)f (x)关于直线x＝a对称⇒f ′(x)关于点A(a，0)中心对称； (2)f ′(x)关于直线x＝b对称⇒f (x)关于点B(b，f (b))中心对称； (3)f (x)是周期为T的周期函数⇒f ′(x)是周期为T的周期函数． [跟进训练] 1．(多选)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f ′(x)，若f (3－x)，g均为奇函数，则(　　) A．f (3)＝0　　　　 B．g(3)＝0 C．f ＝f D．g(5)＝－g(8) AD　[∵f (3－x)，g均为奇函数， ∴f (3＋x)＝－f (3－x)，g＝－g，∴f (x)的图象关于点(3，0)对称，g(x)的图象关于点对称；∴A正确；∵g(x)＝f ′(x)， ∴g(x)的图象关于直线x＝3对称，B错误；∴g(x)的周期为2，∴g(5)＝－g(0)，g(8)＝g(0)，∴g(5)＝－g(8)，D正确；∵f (3＋x)＝－f (3－x)，∴f ＝－f ，C错误．故选AD.] 命题点二　与周期性相关的求值问题 [典例2]　(2022·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)的定义域为R，且f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，f (1)＝1，则(k)＝(　　) A．－3　 B．－2 C．0　 D．1 A　[令y＝1得f (x＋1)＋f (x－1)＝f (x)·f (1)＝f (x)⇒f (x＋1)＝f (x)－f (x－1)， 故f (x＋2)＝f (x＋1)－f (x)，f (x＋3)＝f (x＋2)－f (x＋1)， 消去f (x＋2)和f (x＋1)得到f (x＋3)＝－f (x)，故f (x)的周期为6； 令x＝1，y＝0得f (1)＋f (1)＝f (1)·f (0)⇒f (0)＝2， f (2)＝f (1)－f (0)＝1－2＝－1， f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－1＝－2， f (4)＝f (3)－f (2)＝－2－(－1)＝－1， f (5)＝f (4)－f (3)＝－1－(－2)＝1， f (6)＝f (5)－f (4)＝1－(－1)＝2， 故(k)＝3[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (19)＋f (20)＋f (21)＋f (22)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3，即(k)＝－3.故选A.] 　根据对题目给出的抽象函数性质的理解，将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解．如常见的抽象函数7大模型： (1)一次函数：f (x＋y)＝f (x)＋f (y)－b. (2)二次函数：f (a－x)＝f (a＋x). (3)幂函数：f (xy)＝f (x)f (y). (4)指数函数：f (x＋y)＝f (x)f (y)，f (x－y)＝. (