第2章 高考培优1 指数式、对数式、幂式的大小比较(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

　指数式、对数式、幂式的大小比较 题型一　临界值法比较大小 [典例1]　(1)设a＝5－0.7，b＝log，c＝lg ，则这三个数之间的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c (2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b (1)D　(2)A　[(1)结合函数y＝5x，y＝logx，y＝lg x的图象易知0＜a＝5－0.7＜50＝1，b＝log＞log＝1，c＝lg ＜lg 1＝0，所以b＞a＞c.故选D. (2)∵log51<log52<log5， ∴0<a<， ∵b＝＝log0.70.1>log0.70.7， ∴b>1，∵0.71<0.70.3<0.70，∴0.7<c<1，∴a<c<b.故选A.] 　临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系． [跟进训练] 1．(1)(2022·中山三模)已知a＝20.1，b＝log43，c＝log52，则(　　) A．a>c>b B．b>c>a C．a>b>c D．b>a>c (2)已知a＝，b＝2，c＝log2e，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．b>c>a (1)C　(2)B　[(1)a＝20.1>20＝1 ， ∵4>3>2＝4，∴1>b＝log43>log44＝， ∵2<5，∴c＝log52<log55＝， ∴a>b>c，故选C. (2)因为a＝，b＝2，所以a4＝9，b4＝8，可知a>b，又由b4－＝8－＝>0，可得b>，又由e2<8， 可得e<2＝2，所以log2e<，即c<，故有a>b>c.故选B.] 题型二　特值法、设元法比较大小 [典例2]　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y A　[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A. 法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝logk2，＝logk3，＝logk5．又易知k＞1，5＜2＜3，所以logk5＜logk2＜logk3，即0＜＜＜，所以3y＜2x＜5z.故选A.] 　本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法，求解关键在于转化为比较，，的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性． [跟进训练] 2．(多选)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系可能是(　　) A．＜＜ B．＜＜ C．＝＝ D．＜＜ ACD　[法一(特值法)：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，选项C正确；取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，选项A正确；取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，选项D正确． 法二(设元法)：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.又易知k＞0，若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确；若0＜k＜1，则根据函数f (t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1＞3k－1＞5k－1，所以＜＜，所以选项D有可能正确；若k＞1，则根据函数f (t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1＜3k－1＜5k－1，所以＜＜，所以选项A有可能正确．] 题型三　构造函数法比较大小 [典例3]　(1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a (2)(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 (1)D　(2)B　[(1)＝，＝，＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为，，的大小比较． 设f (x)＝，则f ′(x)＝，当x＝e时，f ′(x)＝0， 当x＞e时，f ′(x)＜0，当0＜x＜e时，f ′(x)＞0， ∴f (x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e＜3＜π＜4