第2章 第10课时 函数模型的应用(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第10课时　函数模型的应用 [考试要求]　 1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异． 2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义． 3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相 关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．“对勾”函数f (x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的性质：在(0， ]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f (x)取最小值2. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． (　　) (2)不存在x0，使ax0＜x＜logax0. (　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度． (　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P138探究改编)已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f (x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f (x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f (x) D．f (x)＞h(x)＞g(x) B　[当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f (x)＞h(x).故选B.] 2．(人教A版必修第一册P149例4改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(　　) A．8　　 B．9 C．10　　 　 D．11 C　[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为，由<，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．] 3．(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at，则下列说法中正确的是(　　) A．第5个月时，浮萍面积就会超过50 m2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．浮萍面积每月的增长率都相等(注：浮萍面积每月增长率＝) D．若浮萍面积为2m2，3m2，6m2时所对应的时间分别是t1，t2，t3，则t1·t2＝t3 C　[由题图可知，y＝at过点(1，2)，则2＝a1，即a＝2， 所以池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝2t， 当t＝5时，y＝25＝32＜50，故A错误； 当t＝1时，y＝2，当t＝2时，y＝22＝4，当t＝3时，y＝23＝8， 所以第一个月浮萍增加的面积为2 m2，第二个月浮萍增加的面积为4－2＝2(m2)，第三个月浮萍增加的面积为8－4＝4(m2)，故B错误； 浮萍面积每月增长率为＝1，故C正确； 因为2t1＝2，2t2＝3，2t3＝6，所以2t1·2t2＝2t3，即t1＋t2＝t3，故D错误．故选C.] 4．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)