第2章 第9课时 函数的零点与方程的解(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第9课时　函数的零点与方程的解 [考试要求]　 1．理解函数的零点与方程的解的联系． 2．理解函数零点存在定理，并能简单应用． 3．了解用二分法求方程的近似解． 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 提醒：函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． [常用结论] 1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，而且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (　　) (2)函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f (a)·f (b)＜0. (　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点． (　　) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　D A　[根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．] 2．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f (x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　) A．(0，1)　　　 B．(1，2) C．(2，3)　　 D．(3，4) B　[法一(定理法)：函数f (x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f (x)在(0，＋∞)上单调递 增，图象是一条连续曲线．由题意知f (1)＝－1<0，f (2)＝log32>0，f (3)＝2>0，根据函数零点存在定理可知，函数f (x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内． 法二(图象法)：函数f (x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f (x)的零点所在的区间为(1，2).故选B. ] 3．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f (x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f (x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(5，6) D．(5，7) BCD　[由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0，f (5)f (7)<0，∴函数f (x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)，(5，7)，故选BCD.] 4．(人教A版必修第一册P155习题4.5T8改编)已知函数f (x)＝则f (x)的零点为________． －2，e　[由题意得， 或 解得x＝－2或x＝e.] 考点一　判定函数零点所在的区间 [典例1]　(1)设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 [四字解题] 读 想 算 思 函数零点所在区间的判断问题 定理法 f ，f (e), f (1)的正负 等价转化、数形结合 图象法 画y＝x和y＝ln x的图象 (2)(2023·天津红桥模拟)函数f (x)＝2ex的图象与函数g (x)＝＋5