第2章 第7课时 对数与对数函数(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第7课时　对数与对数函数 [考试要求]　 1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点． 3．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg_N． 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln_N． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1(a＞0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R). (3)对数恒等式 alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0). (4)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 3．对数函数 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad． 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 3．一些重要类型的奇偶函数 (1)函数f (x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f (x)＝ax－a－x为奇函数； (2)函数f (x)＝＝为奇函数； (3)函数f (x)＝loga为奇函数； (4)函数f (x)＝loga为奇函数． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x. (　　) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝的定义域是________． 　[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1. ∴＜x≤1. ∴函数y＝的定义域是.] 2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小： (1)log0.56________log0.54； (2)log2________log 3. [答案]　(1)<　(2)＝ 3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)·log32＝________． 　[(log43＋log83)·log32＝·＝.] 4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是________． ∪(1，＋∞)　[当a>1时，满足条件； 当0<a<1时，由得0<a<， 综上，a∈∪(1，＋∞).] 考点一　对数的运算 [典例1]　(1)若2a＝5b＝10，则＋＝　 (　　) A．－1　 　B．lg 7　 C．1　 D．log710 (2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________． (1)C　(2)4　[(1)∵2a＝5b＝10， ∴log210＝a，log510＝b， ∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.] 　解决对数运算