第2章 第6课时 指数与指数函数(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第6课时　指数与指数函数 [考试要求]　 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质． 2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象． 3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，a＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂，a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (3)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [常用结论] 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a. (　　) (2)函数y＝a－x是R上的增函数． (　　) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P109习题4.1T1改编)化简的结果为(　　) A．5　 B．　　 C．－　 D．－5 B　[原式＝＝＝5＝5＝.] 2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 C　[依题意可知a2＝，解得a＝， 所以f (x)＝，所以f (－1)＝＝.] 3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编)下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 B．＞2 C．1.70.3＞0.93.1 D．＜ BCD　[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；2＝，y＝为减函数，所以＞＝2，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；y＝ 为减函数，所以＜，又y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，所以＜＜．故D正确．] 4．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f (x)＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f ＝________． 　[因为f (x)的图象过原点，所以f (0)＝a＋b＝0，即a＋b＝0.又因为f (x)的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f (x)＝－＋1， 所以f ＝－＋1＝.] 考点一　指数幂的运算 [典例1]　(1)(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7　　　 B．a3＋a－3＝18 C．a＋a－＝± D．a＋＝2 (2)计算：·＝________(a>0，b>0). (1)ABD　(2)　[(1)因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故选项A正确；因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故选项B正确；因为a＋a－1＝3，所以(a＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a＋a＝，故选项C错误；因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故选项D正确． (2)原式＝＝.] 　指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分