第2章 第5课时 幂函数与二次函数(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第5课时　幂函数与二次函数 [考试要求]　 1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 [常用结论] 1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向、对称轴及给定区间的范围有关． 2．若f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f (x)>0；当时，恒有f (x)<0. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x是幂函数． (　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数． (　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[m，n]的最值一定是. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P58T6改编)已知函数f (x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．　　　 B． C． D． C　[由题意知即解得a>.] 2．(人教A版必修第一册P100复习巩固T4改编)若函数f (x)＝3x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围为________． (－∞，30]∪[120，＋∞)　[依题意知，≥20或≤5，解得k≥120或k≤30.] 3．(人教A版必修第一册P100复习巩固T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减． y＝x　(0，＋∞)　[设y＝f (x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x，由幂函数的性质可知函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减．] 4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) c<b<a　[由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.] 考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 (2)幂函数f (x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． (3)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________． (1)D　(2)2　(3)　[(1)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0.综上所述，选D. (2)由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1， 解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，f (x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f (x)＝x2的图象关于y轴对称， 因此m＝2. (3)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以 解得－1≤a<.] 　与幂函数有关问题的解题思路 (1)若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. (3)在比较幂值的大小时，必须结合