第2章 第3课时 函数的奇偶性、周期性与对称性(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第3课时　函数的奇偶性、周期性与对称性 [考试要求]　 1．理解函数奇偶性的含义． 2．了解函数的最小正周期的含义． 3．会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称 2．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． [常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f (0)＝0．如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|). (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶， 奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0). (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 3．函数对称性常用结论 (1)f (a－x)＝f (a＋x)⇔f (－x)＝f (2a＋x)⇔f (x)＝f (2a－x)⇔f (x)的图象关于直线x＝a对称． (2)f (a＋x)＝f (b－x)⇔f (x)的图象关于直线x＝对称． f (a＋x)＝－f (b－x)⇔f (x)的图象关于点对称． (3)f (2a－x)＝－f (x)＋2b⇔f (x)的图象关于点(a，b)对称． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (　　) (2)已知函数f (x)是定义在区间D上的奇函数，若f (x)在D上有最值，则f (x)max＋f (x)min＝0. (　　) (3)若函数y＝f (x＋a)是偶函数，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称． (　　) (4)函数f (x)在定义域上满足f (x＋a)＝－f (x)(a＞0)，则f (x)是周期为2a的周期函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x)＝2x4＋3x2　 B．f (x)＝x3－2x C．f (x)＝ D．f (x)＝x3＋1 [答案]　BC 2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f (x)＝2－x，则f (2 023)＝________． 　[∵f (x)的周期为2，∴f (2 023)＝f (1)＝2－1＝.] 3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f (x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f (x)＝________． －1　－2－x－2x＋1　[∵f (x)是定义在R上的奇函数， ∴f (0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1. ∴当x≥0时，f (x)＝2x－2x－1， 设x<0，则－x>0， ∴f (－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1， 又f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)， ∴－f (x)＝2－x＋2x－1，∴f (x)＝－2－x－2x＋1.] 4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为________． (－2，0)∪(2，5]　[由题图可知，当0<x<2时，f (x)>0；当2<x≤5时，f (x)<0，又f (x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f (x)<0，当－5≤x<－2时，f (x)>0. 综上，f (x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5].] 考点一　函数的奇偶性 　判断函数的奇偶性 [典例1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝＋； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝ (4)f (x)＝log2(x＋). [解]　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f (x)的定义