第2章 第2课时 函数的单调性与最值(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第2课时　函数的单调性与最值 [考试要求]　 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2．掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域． (2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有f (x)≤M； ②∃x0∈D，使得f (x0)＝M ①∀x∈D，都有f (x)≥M； ②∃x0∈D，使得f (x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在D上单调递减． 2．若函数f (x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f (x)，g(x)都是增(减)函数时，f (x)＋g(x)是增(减)函数； (2)函数y＝f (x)(f (x)≠0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反； (3)复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞). (　　) (2)函数y＝f (x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞). (　　) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． (　　) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P85习题3.2T1改编)如图是函数y＝f (x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f (x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2 C．f (x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3 D．当直线y＝t与f (x)的图象有三个交点时－1<t<2 [答案]　C 2．(人教A版必修第一册P78例1改编)若函数y＝(2k＋1)·x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 　[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.] 3．(人教A版必修第一册P100复习巩固T4改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． (－∞，2]　[由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.] 4．(人教A版必修第一册P81例5改编)已知函数f (x)＝，x∈[2，6]，则f (x)的最大值为________，最小值为________． －　－2　[可判断函数f (x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以f (x)max＝f (6)＝－，f (x)min＝f (2)＝－2.] 考点一　确定函数的单调性(单调区间) [典例1]　(1)(链接常用结论2)函数f (x)＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A．　　　 B． C．(－2，3) D． (2)函数f (x)＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________． (3)试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． (1)A　(2)(－∞，－1]和[0，1]　[(1)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数f (x)的