第1章 高考研究在线1 预备知识在高考中的五大创新命题点(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

由八省联考开幕的新高考打破了原来数学命题的固有模式，本章预备知识中各题也不再是过去的“送分题”．特别地，2021年新高考Ⅱ卷的第20题第(2)问将三点共线问题与充要条件交汇在一起，2022年北京卷第9题将集合与立体几何动点轨迹问题交汇在一起，2022年新高考Ⅱ卷第17题第(2)问将集合与数列交汇在一起，…….可见各个知识点的考查难易随时会变化，因此，高三复习中要立足数学的本质，重视思维过程，提升自己分析问题和解决问题的能力，全方位、多角度备战新高考． 命题点一　集合中的创新性问题 　(1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则(　　) A．M⊆N　　 B．N⊆M C．M⊆∁RN D．∁RN⊆M (2)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% (1)D　(2)C　[(1)由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示， ∴只有∁RN⊆M正确．故选D. (2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x. 由Venn图可知，82%－x＋60%＝96%， 解得x＝46%，故选C.] 　两道考题与我们日常训练的题目的风格有点不同，尤其是第(1)题过于抽象，倘若不深入思考很难找到解题的切入点； 第(2)题情境化较浓，若对容斥原理(人教A版必修第一册P15阅读与思考)不熟，也难以解答．实际上两道试题均考查Venn图的应用，考查直观想象素养． 命题点二　集合与其他知识的交汇问题 [典例2]　(2022·北京高考)已知正三棱锥P­ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) A． B．π C．2π D．3π B　[如图，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，则由题意知，CO＝2，PC＝6，所以PO＝2，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆上及圆内，所以T表示的区域的面积为π.故选B. ] 　该题源自人教A版必修第二册P163T5，虽然是空间动态问题，但整体难度不大，解答的关键是发现集合T＝{Q∈S|PQ≤5}的本质，同时抓住正三棱锥顶点P到平面ABC距离(PO)的不变性，借助直角三角形的三边关系寻找圆O的半径． 命题点三　基于数学知识的逻辑推理问题 [典例3]　(2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题： 甲：x＝1是该方程的根； 乙：x＝3是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是(　　) A．甲　 B．乙 C．丙　　　 D．丁 A　[因为1×3>0，1＋3≠2，又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假命题，由甲为假命题易知，符合题意，由乙为假命题推出矛盾. 故选A. ] 　此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查. 命题点四　 不等式与基本不等式问题 [典例4]　(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ ABD　[对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥，A正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，∴－1<a－b<1，∴2a－b>2－1＝，B正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，C错误；对于选项D，∵＝，∴[]2－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，∴＋≤，D正确．故选ABD.] 　本题融不等式的性质、基本不等式、对数函数、指数函数等知识于一体，较为综合，解答此题的关键是熟知知识间的联系，如教材中重要不等式与基本不等式的关系：若a，b＞0，则≤≤. 命题点五　充要条件的探求与证明问题 [典例5]　(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为：＋＝1(a>b>0)，若右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. [解]　(1)由题意知⇒椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明：证必要性，如图，若M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my＋， 圆心O(0，0)到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1， 联立⇒(m2＋3)y2＋2my－1＝0⇒