第1章 第4课时 基本不等式(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第4课时　基本不等式 [考试要求]　 1．了解基本不等式的证明过程． 2．能用基本不等式解决简单的最值问题． 3．掌握基本不等式在生活实际中的应用． 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x>0，y>0，则 (1)x＋y≥2，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小). (2)xy≤，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大). 提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． [常用结论] 1．几个重要的不等式 2．基本不等式链 若a＞0，b＞0，则≤≤≤. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (　　) (2)若a>0，则a3＋的最小值为2. (　　) (3)函数f (x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4. (　　) (4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P46例2改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　 B．77　　 C．81　 D．82 C　[xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.] 2．(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编)已知x>2，则x＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 D　[∵x>2，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D.] 3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．＋≥2 B．ab≤ C．≥ D．≤ BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．] 4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大． 15　　[设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝x·2y≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．] 考点一　利用基本不等式求最值 　配凑法 [典例1]　(1)函数y＝x(3－2x)的最大值为(　　) A．3　 B．　　 C．　 D． (2)已知x＞，则f (x)＝4x－2＋的最小值为________． (3)函数y＝(x>1)的最小值为________． (1)D　(2)5　(3)2＋2　[(1)y＝x(3－2x)≤·＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立． (2)∵x＞，∴4x－5＞0， ∴f (x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号． (3)因为x>1，所以x－1>0，则 y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号．] 　常数代换法 [典例2]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________． 9　[＝＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，等号成立．] [拓展变式]　(1)若本例中的条件不变，则＋的最小值为________． (2)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________． (1)4　(2)＋　[(1)因为a>0，b>0，a＋b＝1， 所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． (2)由4a＋b＝4得a＋＝1， ＝ ＝ ＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时，等号成立．] 　消元法 [典例3]　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 6　[法一(换元消元法)： 由已知得x＋3y＝9－xy， ∵x>0，y>0， ∴x＋3y≥2， ∴3xy≤， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号， ∴x＋3y＋≥9， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0， 解得t≥6，即x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)： 由x＋3y＋xy＝9，得x＝， ∴x＋3y＝＋3y＝ ＝＝ ＝3(1＋y)＋－6≥2－6 ＝12－6＝6， 当且仅当3(1＋y)＝，即x＝3，y＝1时等号成立， ∴x＋3y的最小值为6.] 【教师备选题】 (多选)(2022·襄阳联考)已知x＞0，y>0，x＋2y＋xy－6＝0，则(　　)