第1章 第3课时 不等式的性质与一元二次不等式(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第3课时　不等式的性质与一元二次不等式 [考试要求]　 1．理解不等式的性质，并能简单应用． 2．理解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，掌握一元二次不等式的解法． 1．两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0) 2．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根． [常用结论] 1．有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<，>(b－m>0)； (2)若ab>0，且a>b，则<. 2．分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f (x)·g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2. (　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0. (　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2. (　　) (4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0. (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、教材习题衍生 1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(　　) A．{x|x<1}　　 B．{x|x>3} C．{x|x<1或x>3} D．{x|1<x<3} C　[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}，故选C.] 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)(链接常用结论1)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添加m克水(m>0)，糖水就变淡了，下面哪一个式子可以说明这一事实(　　) A．＜ B．＞ C．＜ D．＜ A　[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜，故选A.] 3．(人教A版必修第一册P42练习T2改编)用不等号“＞”或“＜”填空． (1)如果a＜b，c＞d，那么a－c________b－d； (2)如果a＞b＞0，那么________； (3)如果c＞a＞b＞0，那么________. [答案]　(1)＜　(2)＜　(3)＞ 4．(人教A版必修第一册P42习题2.1T5改编)已知－1<a<2，－3<b<5，则a－b的取值范围是________． (－6，5)　[∵－3<b<5，∴－5<－b<3， 又－1<a<2，∴－6<a－b<5.] 考点一　比较两个数(式)的大小 [典例1]　若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b　　 D．b<a<c B　[法一(作差法)： a－b＝－＝＝＞0， b－c＝－＝＝＞0， 所以a＞b＞c. 法二(作商法)： 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251 024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a. 法三(单调性法)： 对于函数y＝f (x)＝，y′＝. 易知当x＞e时，函数f (x)单调递减． 因为e＜3＜4＜5， 所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a.] 　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． [跟进训练] 1．(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．