第1章 第2课时 常用逻辑用语(教参)-【名师导航】2024年高考数学一轮总复习(新教材新高考)人教版

第2课时　常用逻辑用语 [考试要求]　 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确对含有一个量词的命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． [常用结论] 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B. (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件． (　　) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件． (　　) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题． (　　) (4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教材习题衍生 1．(多选)(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中假命题是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C．“a<5”是“a<3”的必要条件 D．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 ABD　[A：由a＝b有ac＝bc，当ac＝bc不一定有a＝b成立，必要性不成立，假命题； B：若a＝1>b＝－2时a2<b2，充分性不成立，假命题； C：a<5不一定a<3，但a<3必有a<5，故“a<5”是“a<3”的必要条件，真命题； D：a＋5是无理数，则a是无理数，若a是无理数也有a＋5是无理数，故为充要条件，假命题．故选ABD.] 2．(多选)(人教A版必修第一册P31习题1.5T1、T2改编)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－x＋1>0 B．∃x∈R，sin x＝2 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上 [答案]　ACD 3．(人教A版必修第一册P35复习参考题1T6(3)改编)存在量词命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题． [答案]　∃x，y∈R，x＋y>1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假 4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则a的取值范围为________． [答案]　[3，＋∞) 考点一　充分、必要条件 　充分、必要条件的判定 [典例1]　(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[∵sin x＝1一定有cos x＝0，充分性成立；cos x＝0不一定有sin x＝1，必要性不成立，∴“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，选A.] 　充分、必要条件的探求 [典例2]　(2022·济宁二模)“x>y”的一个充分不必要条件是(　　) A．ln x>ln y B．x2>y2 C．x3>y3 D．< A　[对于A，ln x>ln y⇔x>y>0，∴ “ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，x2>y2⇔|x|>|y|，∴ “x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，x3>y3⇔x>y，∴ “x3>y3”是“x>y”的充要条件，故C错误；对于D，<⇔ 或∴“< ”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故D错误．故选A.] 　充分、必要条件的应用 [典例3]　(链接常