专题12 新定义运算-学易金卷：2023年中考数学三模试题分项汇编（全国通用）

专题12 新定义运算 一、单选题 1．（2023·河南洛阳·统考三模）定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 2．（2023·湖南永州·校考三模）对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算.例如：.则方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 3．（2023·河南商丘·统考三模）对于实数、定义运算“”为，例如，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．（2023·山东济南·统考三模）新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 5．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考三模）定义，即的取值为，，的中位数，例如：， 已知函数 （1）求当时，____________； （2）当直线与上述函数有个交点时，则的值为_________． 6．（2023·浙江宁波·校联考三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数m，n，．若，则x的值为______． 7．（2023·湖南永州·校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的最短距离为__________．最长距离为__________．    8．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 _____． 9．（2023·四川成都·校考三模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”，例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有______（填序号）；若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，则的取值范围是______． 10．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为__________． 11．（2023·河北邯郸·校考三模）已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数C．在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作， （1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是______； （2）若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（m，n为正整数），则______． 12．（2023·河北沧州·统考三模）定义：若数p可以表示成（x，y均为正整数）的形式，则称p为“希尔伯特”数． 例如：，，…所以39，147是“希尔伯特”数． （1）有理数1______“希尔伯特”数（填“是”或“不是”）； （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，又称它们为“H希尔伯特”数． ①设连续两个奇数中较小的数是（n为正整数），用含n的代数式表示“H希尔伯特”数为______； ②已知两个“H希尔伯特”数的差是48，则这两个“H希尔伯特”数中较大的是______． 13．（2023·河北邯郸·校考三模）已知两个正数，，可按规则扩充为一个新数在，，三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依此继续扩充下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作， （1）若，，按上述规则操作三次，扩充所得的数是______； （2）若，按上述规则操作五次后扩充所得的数为（，为正整数），则______． 14．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______． 三、解答