第7章 2.1 古典概型 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§2　古典概型 2.1　古典概型 　　 有一本好书,两位同学都想看。甲同学建议:在一个不透明的箱子里放4个大小相同的球,标号为1,2,3,4,充分搅拌后随机摸取一个球,摸到标号为偶数则甲先看,摸到标号为奇数则乙先看,而乙同学提议掷骰子:三点以下(含三点)甲先看,三点以上(不含三点)乙先看。这两种方法对双方是否公平? 1.结合具体实例,理解古典概型。 2.能计算古典概型中简单随机事件的概率。 1.概率 对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率。概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画。 2.古典概型 (1)概念 一般地,若试验E具有如下特征: ①有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间。 ②等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等。 则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型。 (2)概率公式 对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为 P(A)==。 　 微思考 如何从集合的角度理解古典概型的概率公式? 提示:如图所示,把一次试验中等可能出现的n个结果组成一个集合U,其中每一个结果就是U中的一个元素,把含m个结果的随机事件A看作含有m个元素的集合,则随机事件A是集合U的一个子集,则有P(A)==。 　 类型一 古典概型的判断 　　【例1】　一只口袋中有大小相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出一个球。 (1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型? (2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点?以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型? 解　(1)因为样本点个数有限,而且每个样本点发生的可能性相同,所以是古典概型。 (2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得一个白球”“取得一个红球”“取得一个黄球”,共3个样本点。这些样本点个数有限,但“取得一个白球”的概率与“取得一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型。 　　判断一个试验是古典概型的依据 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性 【变式训练】　某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗?为什么? 解　不是古典概型,因为虽然试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环、…、命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件。 类型二 简单的古典概型的概率计算 　　【例2】　从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率: (1)事件A={三个数字中不含1或5}; (2)事件B={三个数字中含1或5}。 解　这个试验的样本空间为Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以样本点总数n=10。 (1)因为事件A={(2,3,4)}, 所以事件A包含的样本点数m=1。 所以P(A)==。 (2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}, 所以事件B包含的样本点数m=9。 所以P(B)==。 　　1.古典概型概率的求法步骤 (1)确定样本点总数n; (2)确定所求事件包含的样本点数m; (3)P(A)=。 2.使用古典概型概率公式的注意点 (1)首先确定是否为古典概型; (2)A事件是什么,包含的样本点有哪些 【变式训练】　箱子里有3双不同的手套,随机拿出2只,记事件A表示“拿出的手套配不成对”;事件B表示“拿出的都是同一只手上的手套”;事件C表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”。 (1)请写出试验的样本空间; (2)分别求事件A、事件B、事件C的概率。 解　(1)分别设3双手套为a1a2,b1b2,c1c2,a1,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套。 从箱子里的3双不同的手套中,随机拿出2只,样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c1),(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2)},共15个样本