第4章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 　　 1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只,可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低。直至二十世纪五十年代,科学家采用粘液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子,澳大利亚人才算松了一口气。可见兔子在适宜的环境下,其繁育的数量呈“爆炸性增长”。 结合实例比较指数函数、幂函数、对数函数模型的差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 三种常见函数模型的增长差异 (1)当b>1,c>0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长快。 (2)当a>1,c>0时,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增长快。 (3)随着自变量x的增大,y=ax(a>1)的函数值增长远远大于y=xc(c>0)的函数值增长;而y=xc(c>0)的函数值增长又远远大于y=logbx(b>1)的函数值增长。 微思考 1.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则根据两类函数的增长差异,Δy1与Δy2的大小关系如何? 提示:由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度,所以Δy1<Δy2。 2.在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有logax<xn<ax成立? 提示:不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,logax<xn<ax成立。 　 类型一 研究函数y=ax(a>1),y=xn(n>0),y=logax(a>1)的增长差异 　　【例1】　 在同一坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象并探究在(0,+∞)上它们的增长情况。 解　在同一直角坐标系内作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象,如图所示,观察归纳可知, 当0<x<2时,2x>x2>log2x。 当2<x<4时,x2>2x>log2x。 当x>4时,2x>x2>log2x。 　　在(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢,总会存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax 【变式训练】　四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x。假设他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是 (　　) A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x 解析　x足够大时,跑在最前面的人具有的函数关系是指数型函数。 答案　D 类型二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 　　【例2】　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示。设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2。 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 011),g(2 011)的大小。 解　(1)C1对应的函数为g(x)=x3, C2对应的函数为f(x)=2x。 (2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),所以1<x1<2,9<x2<10,所以x1<6<x2,2 011>x2,从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6)。当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 011)>g(2 011)。又因为g(2 011)>g(6),所以f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)。 　　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数 【变式训练】　 函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示: (1)试根据函数增长差异找出曲线C1,C2对应的函数; (2)以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较。 解　(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx。 (2)当x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)