第4章 3 第3课时 对数函数的性质应用 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第3课时　对数函数的性质应用 　 类型一 对数函数的值域与最值问题 　　【例1】　(1)求函数y=log3(2x-1),x∈[1,2]的值域; (2)求函数y=(log2x)2-4log2x+5(1≤x≤2)的最值。 解　(1)因为1≤x≤2,所以1≤2x-1≤3,所以0=log31≤log3(2x-1)≤log33=1。所以函数y=log3(2x-1),x∈[1,2]的值域是[0,1]。 (2)令t=log2x,则0≤t≤1,且y=t2-4t+5=(t-2)2+1。由二次函数的图象,可知函数y=(t-2)2+1在[0,1]上为减函数,所以当t=0时,y取最大值,且ymax=02-4×0+5=5;当t=1时,y取最小值,且ymin=12-4×1+5=2。 　　(1)求值域时要结合函数的单调性,当底数是参数时,还需对底数的取值分类讨论。 (2)换元法是一种常见的技巧,在解题过程中要合理转化,灵活运用 【变式训练】　求下列函数的值域。 (1)y=log2(x2+4); (2)y=lo(3+2x-x2)。 解　(1)y=log2(x2+4)的定义域是R。因为x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2。所以y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞)。 (2)设u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4。因为u>0,所以0<u≤4。又y=lou在(0,+∞)上为减函数,所以lou≥lo4=-2,所以y=lo(3+2x-x2)的值域为[-2,+∞)。 类型二 解对数不等式 　　【例2】　(1)已知loga>1,求a的取值范围; (2)已知log0.7(2x)<log0.7(x-1),求x的取值范围。 解　(1)由loga>1得loga>logaa。 ①当a>1时,有a<,此时无解; ②当0<a<1时,有<a,从而<a<1。 所以a的取值范围是。 (2)因为函数y=log0.7x在(0,+∞)上为减函数,所以由log0.7(2x)<log0.7(x-1), 得解得x>1。 所以x的取值范围是(1,+∞)。 　　常见对数不等式的2种解法 (1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论。 (2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解 【变式训练】　(1)函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 (　　) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 解析　当a>0时,由f(a)>f(-a)得log2a>lo[-(-a)],即log2a>0,解得a>1;当a<0时,由f(a)>f(-a)得lo(-a)>log2(-a),即log2(-a)<0,解得0<-a<1,得-1<a<0。因此实数a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞)。故选C。 答案　C (2)设0<a<1,函数f(x)=loga(2ax-2),则使得f(x)<0的x的取值范围为　　　　。  解析　由于y=logax(0<a<1)在(0,+∞)上为减函数,则2ax-2>1,即ax>。由于0<a<1,可得x<loga。 答案　 (3)已知loga(3a-1)恒为正,求a的取值范围。 解　由题意知loga(3a-1)>0=loga1。 当a>1时,y=logax是增函数, 所以解得a>, 所以a>1; 当0<a<1时,y=logax是减函数, 所以解得<a<。 所以<a<。 综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞)。 类型三 对数函数性质的综合应用 　　【例3】　已知函数f(x)=loga(x+1)(0<a<1),而函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称。 (1)写出g(x)的解析式; (2)判断f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由; (3)若x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≤m成立,求实数m的取值范围。 解　(1)设P(x,y)为函数g(x)的图象上任意一点,点P关于原点的对称点为P'(-x,-y),由已知点P'(-x,-y)在函数f(x)=loga(x+1)的图象上,则-y=loga(-x+1),即g(x)=-loga(-x+1)。 (2)函数f(x)-g(x)为偶函数,理由:f(x)-g(x)=loga(x+1)+loga(-x+1)=loga(1-x2),其中所以函数f(x)-g(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,f(-x)-g(-x)=loga(1-x2)=f(x)-g(x),故函数f(x)-g(x)为偶函数。 (3)f(x)+g(x)=loga≤m恒成立,设t==-1+, 当x∈[0,1