第4章 3 第2课时 对数函数的图象和性质 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第2课时　对数函数的图象和性质 　　1.从图①上看,函数y=log2x与y=lox的图象有什么关系? 2.从图②上看,对数函数的图象的分布与底数有什么关系? ①　② 1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象。 2.探索并了解对数函数的单调性和特殊点。 对数函数的图象及性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 在定义域(0,+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 　 微思考 　对于对数函数y=logax(a>0,且a≠1),在下表中,y的范围是什么? 底数 x的范围 y的范围 a>1 x>1 　　　  0<x<1 　　　  0<a<1 x>1 　　　  0<x<1 　　　  提示:y>0　y<0　y<0　y>0 　 类型一 对数函数的图象问题 　　【例1】　(1)已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是 (　　) A　B　C　D 解析　若0<a<1,则函数y=ax的图象从左到右下降且过点(0,1),函数y=loga(-x)的图象从左到右上升且过点(-1,0);若a>1,则函数y=ax的图象从左到右上升且过点(0,1),函数y=loga(-x)的图象从左到右下降且过点(-1,0)。综上可知,故选B。 答案　B (2)作出函数y=|log2(x+1)|的图象。 解　第一步:作函数y=log2x的图象,如图①所示; 第二步:将函数y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度,得y=log2(x+1)的图象,如图②所示; 第三步:将函数y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换,得函数y=|log2(x+1)|的图象,如图③所示。 ①　② ③ 　　对有关对数型函数的作图题,一般是从基本初等函数的图象入手,通过平移、对称变换得到所要求的函数图象。特别地,当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论 【变式训练】　(1)函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,且a≠1)的图象恒过点 (　　) A.(1,0)　 B.(1,-4) C.(2,0)　 D.(2,-4) 解析　令2x-3=1,得x=2,所以f(2)=loga1-4=-4,所以函数f(x)=loga(2x-3)-4的图象恒过点(2,-4)。故选D。 答案　D (2)函数y=ln(1-x)的大致图象为 (　　) A　B　C　D 解析　因为函数y=ln(1-x)的定义域为{x|x<1},故可排项A,B;又y=1-x在(-∞,1)上为减函数,y=lnx为增函数,所以复合函数y=ln(1-x)在(-∞,1)上为减函数,排除D。故选C。 答案　C 类型二 比较对数值的大小 　　【例2】　比较下列各组对数值的大小: (1)lo与lo; (2)lo3与lo3; (3)lo0.3与lo3; (4)loga5.1与loga5.9(a>0,且a≠1)。 解　(1)因为y=lox在(0,+∞)上单调递减,且<,所以lo>lo。 (2)因为当x∈(1,+∞)时,y=lox的图象在y=lox图象的上方,所以lo3>lo3。 (3)由对数的性质知lo0.3>0>lo3,所以lo0.3>lo3。 (4)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,所以loga5.1<loga5.9; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,所以loga5.1>loga5.9。 　　比较对数值的大小的策略 (1)比较两个底数为同一常数的对数的大小,首先要根据对数的底数来判断对数函数的单调性;然后比较真数的大小,再利用对数函数的单调性判断。 (2)比较两个对数值的大小,对于底数是相同字母的,需要对底数进行讨论。 (3)若不同底但同真,则可利用图象的位置关系与底数的大小关系解决或利用换底公式化为同底后再进行比较。 (4)若底数和真数都不相同,则常借助中间量1,0,-1等进行比较 【变式训练】　(1)已知实数a=log45,b=,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 解析　由题知,a=log45>1,b==1,c=log30.4<0,故c<b<a。 答案　D (2)已知lom<lon<0,则 (　　) A