第4章 3 第1课时 对数函数的概念 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§3　对数函数 第1课时　对数函数的概念 　　 中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认,河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨。经过发掘、整理、还原模型,专家推断这条黄河巨龙活着的时候,体重应该在60吨左右,是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”。 同学们,你们知道专家是怎样依据化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗?那就让我们学习一种新的函数模型——对数函数来解决这个问题吧! 1.通过具体实例了解对数函数的概念。 2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0且a≠1)。 1.对数函数的概念及两个特殊的对数函数 (1)对数函数的概念:一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中a称为底数。对数函数具有以下基本性质: ①定义域是(0,+∞); ②图象过定点(1,0)。 (2)两个特殊的对数函数: 常用对 数函数 称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lgx 自然对 数函数 称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=lnx 2.反函数 指数函数y=ax是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数。即它们互为反函数。 　 微思考 1.对数函数的定义域为什么是(0,+∞)? 提示:由对数的定义可知,y=logax(a>0,且a≠1)中x为真数,故x>0。 2.对数函数解析式有哪些特征? 提示:①a>0,且a≠1;②logax的系数为1;③自变量x的系数为1。 　 类型一 对数函数的概念 　　【例1】　指出下列函数哪些是对数函数? (1)y=loga(6x)(a>0,且a≠1); (2)y=log6x; (3)y=logx5; (4)log2x+1。 解　(1)对数函数自变量x的系数为1,故此函数不是对数函数。 (2)符合对数函数的结构形式,是对数函数。 (3)自变量在底数位置上,不是对数函数。 (4)对数式log2x后又加上1,不是对数函数。 　　判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为1。 (2)底数为大于0且不等于1的常数。 (3)对数的真数仅有自变量x 【变式训练】　(1)下列函数是对数函数的是 (　　) A.y=loga(2x) B.y=log22x C.y=logx4 D.y=lgx 解析　A,B,C中的函数都不具有“y=logax(a>0,且a≠1)”的形式,只有D符合。 答案　D (2)函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=　　　　。  解析　a2-a+1=1,解得a=0或1。又a+1>0,且a+1≠1,所以a=1。 答案　1 (3)已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3),则f=　　　　。  解析　设对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1), 因为f(x)的图象过点P(8,3), 所以3=loga8,所以a3=8,a=2。 所以f(x)=log2x。f=log2=log22-5=-5。 答案　-5 类型二 对数型函数的定义域 　　【例2】　求下列函数的定义域: (1)y=log5(1-x); (2)y=; (3)y=。 解　(1)要使函数式有意义,需1-x>0,解得x<1,所以函数y=log5(1-x)的定义域为(-∞,1)。 (2)要使函数式有意义,需解得x<4,且x≠3,所以函数y=的定义域为(-∞,3)∪(3,4)。 (3)要使函数有意义,需满足 即解得-1<x<0,因此函数y=的定义域为(-1,0)。 　　求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0。 (2)根指数为偶数时,被开方数非负。 (3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1 【变式训练】　函数f(x)=+lg(10-x)的定义域为　　　　。  解析　由题意可得解得1<x<10,故定义域为(1,10)。 答案　(1,10) 类型三 反函数问题 　　【例3】　(1)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)=(　　) A.log2x B.2-x C.x2 D.lox 解析　依题意,点(,a)在函数y=ax的反函数的图象上,则点(a,)在函数y=ax的图象上,将x=a,y=代入y=ax中解得a=,故f(x)=lox。 答案　D (2)写出下列函数的反函数。 ①y=;②y=lnx;③y=lox;④y=0.2x+1。 解　①指数函数y=,它的底数是,它的反函数是对数函数y=lox(x>0)。 ②对数函数y=lnx,它的底数是e,它的反函数是指数函数y=ex。 ③对数函数y=lox,它的底数是