第4章 2 2.1 对数的运算性质 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§2　对数的运算 2.1　对数的运算性质 　　 对数式是指数式的另一种表达形式。对数运算是指数运算的逆运算,指数运算有指数运算的性质,对数运算也有对数运算的性质。 理解对数的运算性质。 对数的运算性质 若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则对数运算具有如下运算性质: (1)loga(M·N)=logaM+logaN; (2)loga=logaM-logaN; (3)logaMb=blogaM。 　 微思考 1.对数的运算性质(1)当M,N同号时成立吗? 提示:不一定成立。如lg[(-5)×(-3)]有意义,而lg(-5),lg(-3)无意义。 2.logax2=2logax(a>0,且a≠1)成立吗? 提示:此式只有在x>0的条件下才能成立,一般地,logax2=2loga|x|。 　 类型一 化简求值 　　【例1】　计算。 (1)log2(47×25); (2)lg-lg+lg; (3)。 解　(1)log2(47×25)=log247+log225=7log222+5=7×2+5=19。 (2)lg-lg+lg=(5lg2-2lg7)-·lg2+lg(72×5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5 =lg2+lg5=lg10=。 (3)====。 　　利用对数运算求值的方法 (1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数。 (2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差) 【变式训练】　求下列各式的值: (1)log2+log212-log242-1; (2)2(lg)2+lg·lg5+。 解　(1)原式=log2+log212-log2-log22 =log2 =log2=-。 (2)原式=lg(2lg+lg5)+ =lg(lg2+lg5)+1-lg =lg+1-lg=1。 类型二 带有附加条件的对数式求值 　　【例2】　设lg2=a,lg3=b,则= (　　) A. B. C. D. 解析　因为lg2=a,lg3=b,所以==。 答案　C 　　对数式表示的两种方式 (1)已知对 数式待求 (2)已知 指数式 【变式训练】　已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求lg。 解　lg=lg45=lg=(lg9+lg10-lg2) =(2lg3+1-lg2)=lg3+-lg2 =0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6。 　 1.log35-log315= (　　) A.-1 B.1 C.0 D.log3(-10) 解析　log35-log315=log3=log33-1=-1。 答案　A 2.设a=log310,b=log37,则3a-b= (　　) A. B. C. D. 解析　因为a=log310,b=log37,所以3a=10,3b=7,所以3a-b==。 答案　C 3.已知x=log32,则log38-2log312用x表示为　　　　。  解析　原式=3log32-4log32-2=-log32-2=-x-2。 答案　-x-2 4.4lg2+3lg5-lg=　　　　。  解析　原式=4lg2+3lg5+lg5=4(lg2+lg5)=4。 答案　4 5.里氏震级M的计算方式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为几级?9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍? 解　由M=lgA-lgA0知,M=lg1 000-lg0.001=6,所以此次地震的震级为6级。设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg=lgA1-lgA2=(lgA1-lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4。所以=104=10 000。所以9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍。 学科网（北京）股份有限公司 $