第4章 1 对数的概念 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第四章 对数运算与对数函数 §1　对数的概念 　　 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…。如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个,…,那么分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数,这个函数就是对数函数。 1.理解对数的概念。 2.知道自然对数和常用对数。 3.通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。 1.对数的概念 (1)对数的概念 一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b。其中a叫作对数的底数,N叫作真数。 (2)常用对数与自然对数 当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,并将log10N简记为lgN。 在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为lnN。 2.对数的有关结论 (1)loga1=0(a>0,a≠1)。 (2)logaa=1(a>0,a≠1)。 (3)loga=-1(a>0,a≠1)。 (4)真数N>0。 (5)对数恒等式=N(a>0,a≠1,N>0)。 微提醒 式子ab=N叫作指数式,b=logaN叫作对数式,两个式子所表示的都是三个数a,b,N的同一种数量关系,只是表达形式不同而已。 　 微思考 1.为什么规定a>0且a≠1? 提示:(1)若a<0,则会出现N为某些数值时,logaN不存在的情况。例如,假设log-42存在,设log-42=x,则(-4)x=2,我们知道==2,但是-4的任何次幂都不可能等于2,因此这样的x是不存在的。 (2)若a=0,且N≠0,则logaN不存在;若a=0,N=0,log00有无数个,不能确定。为此,规定a≠0,N≠0。 (3)若a=1,且N≠1,则logaN不存在;若a=1,N=1,logaN有无数个值,不能确定。为此,规定a≠1。因此,为了避免对数logaN不存在或不唯一确定的情况,规定a>0,且a≠1。 2.任何一个指数式都可以化为对数式吗? 提示:不是,如(-3)2=9,不能写成log(-3)9=2。 　 类型一 对数的定义 　　【例1】　(1)在对数式y=log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是　　　　。  解析　由得2<x<3或3<x<4。 答案　(2,3)∪(3,4) (2)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式。 ①54=625;②log216=4;③10-2=0.01;④lo125=6。 解　①由54=625,得log5625=4。②由log216=4,得24=16。③由10-2=0.01,得lg 0.01=-2。④由lo125=6,得()6=125。 　　指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式。 (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式 【变式训练】　将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式。 (1)43=64;(2)lna=b;(3)=n;(4)lg1 000=3。 解　(1)因为43=64,所以log464=3。 (2)因为ln a=b,所以eb=a。 (3)因为=n,所以lon=m。 (4)因为lg1 000=3,所以103=1 000。 类型二 对数的运算 　　【例2】　求下列各式中x的值。 (1)log64x=-;(2)logx8=6;(3)lg100=x; (4)-lne2=x;(5)lo=x。 解　(1)x=6=(43=4-2=。 (2)因为x6=8,所以x=(x6==(23==。 (3)10x=100=102,于是x=2。 (4)由-ln e2=x,得-x=ln e2,即e-x=e2。所以x=-2。 (5)因为lo=x,所以(-1)x====-1,所以x=1。 　　要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解 【变式训练】　计算:(1)log927;(2)lo81; (3)lo625。 解　(1)设x=log927,则9x=27,32x=33,所以x=。 (2)设x=lo81,则()x=81,=34,所以x=16。 (3)令x=lo625,则()x=625,=54,所以x=3。 类型三 对数性质的应用 　　【例3】　求下列各式中x的值: (1)log2(log5x)=0;(2)log3(lgx)=1; (3)x=。 解　(1)因为log2(log5x)=0, 所以log5x=20=1,所以x=51=5。 (2)因为log3(lg x)=1,所以lg x=31=3, 所以x=103=1 000。 (3)x==7÷=7÷5=。 　　对数恒等式=N的应用 (1)能直接