第3章 3 第2课时 指数函数的性质应用 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第2课时　指数函数的性质应用 　 类型一 指数式的大小比较 　　【例1】　比较下列各组数的大小: (1)1.52.5和1.53.2; (2)与; (3)1.50.3和0.81.2。 解　(1)因为函数y=1.5x在R上是增函数,2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2。 (2)指数函数y=与y=的图象(如图),由图知>。 (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50=1, 而0.81.2<0.80=1, 所以1.50.3>0.81.2。 　　比较指数式大小的3种类型及处理方法 【变式训练】　比较下列各题中两个值的大小。 (1)0.8-0.1,1.250.2; (2)1.70.3,0.93.1; (3)a0.5与a0.6(a>0,且a≠1)。 解　(1)因为0<0.8<1, 所以y=0.8x在R上是减函数。 因为-0.2<-0.1,所以0.8-0.2>0.8-0.1, 而0.8-0.2==1.250.2, 即0.8-0.1<1.250.2。 (2)因为1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1。 (3)a0.5与a0.6可看做指数函数y=ax的两个函数值。 当0<a<1时,函数y=ax在R上是减函数。因为0.5<0.6,所以a0.5>a0.6。当a>1时,函数y=ax在R上是增函数。因为0.5<0.6,所以a0.5<a0.6。综上所述,当0<a<1时,a0.5>a0.6;当a>1时,a0.5<a0.6。 类型二 解指数型不等式 　　【例2】　求解下列不等式: (1)已知3x≥,求实数x的取值范围; (2)若a-5x>ax+7(a>0,且a≠1),求x的取值范围。 解　(1)因为=30.5,所以由3x≥可得3x≥30.5,因为y=3x为增函数,故x≥0.5。 (2)①当0<a<1时,函数y=ax是减函数,则由a-5x>ax+7可得-5x<x+7,解得x>-。 ②当a>1时,函数y=ax是增函数,则由a-5x>ax+7可得-5x>x+7,解得x<-。 综上,当0<a<1时,x>-;当a>1时,x<-。 　　指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的解法: 当a>1时,f(x)>g(x); 当0<a<1时,f(x)<g(x)。 (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:1=a0(a>0,且a≠1),a-x=(a>0,且a≠1)等 【变式训练】　(1)已知函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-3) B.(1,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 解析　由题意,知f(a)<1等价于或解得-3<a<0或0≤a<1,所以-3<a<1。故选C。 答案　C (2)解不等式:≤2x。 解　因为=(2-1=, 所以原不等式等价于≤2x。 因为y=2x是R上的增函数,所以2-x2≤x, 所以x2+x-2≥0,即x≤-2或x≥1, 所以原不等式的解集是{x|x≥1或x≤-2}。 类型三 指数型函数的单调性 　　【例3】　已知函数y=。 (1)求函数的定义域、值域; (2)确定函数的单调区间。 解　设u(x)=x2-6x+17, 则y=。 (1)由于函数y=,及u(x)=x2-6x+17的定义域为(-∞,+∞),故函数y=的定义域为R。 因为u(x)=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8, 所以≤,又>0,故函数的值域为。 (2)函数u(x)=x2-6x+17在[3,+∞)上单调递增,即∀x1,x2∈[3,+∞),且x1<x2,有u(x1)<u(x2),从而>,所以函数y=在[3,+∞)上单调递减。同理可知,y=在(-∞,3]上单调递增。 　　指数型复合函数单调性求解的基本思路 (1)对于y=af(x)型的函数,当a>1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相同;当0<a<1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相反。 (2)对于y=f(ax)型的函数,一般将ax视作一个整体或用换元法,令u=ax,结合u=ax>0及f(u)的单调性进行讨论 【变式训练】　(1)求函数y=的单调区间; (2)讨论函数y=22x-2x+1+3的单调性。 解　(1)因为-x2+2x+3≥0,所以x2-2x-3≤0,所以-1≤x≤3,所以函数的定义域为[-1,3]。设t(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,对称轴为x=1,设u(x)=,易知u(x)在[-1,1)上单调递增,在[1,3]上单调递减,且y=2u在R上单调递增,所以函数y=在[-1,1)上单调递增,在[1,3]上单调递减。 (2)y=22x-2x+1+3=(2x)