第3章 3 第1课时 指数函数的概念、图象和性质 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§3　指数函数 第1课时　指数函数的概念、图象和性质 　　 “一尺之棰,日取其半,万世不竭。”——《庄子·天下篇》。其中蕴涵着我们本节将要学习的知识——指数函数。 1.理解指数函数的概念。 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 1.指数函数的概念 当给定正数a,且a≠1时,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数。 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (4)当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>1 (4)当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 (5)在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0 (5)在R上是减函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0; 当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大 3.不同底数的指数函数图象和性质比较 (1)对于函数y=ax和y=bx(a>b>1); ①当x<0时,0<ax<bx<1; ②当x=0时,ax=bx=1; ③当x>0时,ax>bx>1。 (2)对于函数y=ax和y=bx(0<a<b<1)。 ①当x<0时,ax>bx>1; ②当x=0时,ax=bx=1; ③当x>0时,0<ax<bx<1。 (3)一般地,指数函数y=ax和y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相反。 　 微思考 1.为什么指数函数的底数a>0,且a≠1? 提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义。 ②如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x=,,…,该函数无意义。 ③如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值。 为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1。 2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)图象的高低与a的取值有何关系? 提示:指数函数y=ax的图象如图所示,在第一象限内,底数a自上向下依次递减。 如图中底数的大小关系为0<a4<a3<1<a2<a1。 在第一象限的图象可简记为“底大图高”。 　 类型一 指数函数的概念 　　【例1】　(1)若函数y=a2(2-a)x是指数函数,则 (　　) A.a=1或-1 B.a=1 C.a=-1 D.a>0且a≠1 解析　依题意解得a=-1。 答案　C (2)指数函数f(x)过点,则f(-1)=　　　　。  解析　f(x)=ax(a>0且a≠1),则=3,解得a=3,所以f(x)=3x,所以f(-1)=3-1=。 答案　 　　(1)在指数函数的解析式y=ax中,ax的系数必须是1,自变量x在指数的位置上,且指数只能是自变量x,底数必须是大于0且不等于1的实数。 (2)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法 【变式训练】　下列函数中,哪些是指数函数? (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-2x; (4)y=5x-1;(5)y=(-10)x。 解　(1)满足指数函数的定义,是指数函数。 (2)x位于底数位置,因而不是指数函数。 (3)2x的系数为-1,不为1,因而不是指数函数。 (4)指数式后有“-1”,不符合指数函数的形式,因而不是指数函数。 (5)底数为-10,小于0,因而不是指数函数。 故(1)是指数函数,(2)(3)(4)(5)都不是指数函数。 类型二 指数函数的图象 　　命题方向1:指数函数的图象特征 　　【例2】　已知1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx的图象是 (　　) A　B C　D 解析　由1>n>m>0可知,两曲线应为递减的曲线,故排除A,B项,再由n>m。故选C。 答案　C 　　对于此类题目,首先应根据底数的取值范围判断图象的升降,再根据底数的大小判断对应的曲线 【变式训练】　 如图所示的是指数函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 (　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 解析　③④的底数一定大于1,①②的底数一定小于1,然后由图象③④比较c,d的大小,由图象①②比较a,b的大小。当指数函数的底数大于1时,图象上升,且底数越大,图象越靠近y轴;当指数函数的底数大于0且小于1时,图象下降,且底数越小,图象越靠近y轴。 答案　B 　　命题方向2:指数函数的图象变换 　　【例3】　利用函数y=f(x)=2x的图象,作出下列各函数的图象: (1)f(x-1);(2)f(|x|);(3)f(x)-1; (4)-f(x);(5)|f(x)-1|