第3章 2 指数幂的运算性质 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

§2　指数幂的运算性质 　　 在初中,我们学习了整数指数幂的哪些运算性质?这些运算性质对于实数指数幂是否适用? 掌握幂的运算性质,感受数学推理的严谨性与合理性。 实数指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质: (1)aα·aβ=aα+β; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα。 微思考 1.指数运算性质中为什么规定a>0,b>0? 提示:如果改变等式成立的条件,则有可能不成立,如a=-2,b=-4时,(ab=[(-2)×(-4)=(-2×(-4则无意义。 2.aα÷aβ等于什么? 提示:aα÷aβ==aα·β-β=aα+(-β)=aα-β。 　 类型一 利用指数幂的运算性质求值 　　【例1】　计算下列各式: (1)+2-2×-(0.01)0.5; (2)3π×+(+; (3)(0.064-+[(-2)3+16-0.75。 解　(1)原式=1+×-=1+-=。 (2)3π×+(+=++1=1π+24+1=18。 (3)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3=-1++=。 　　指数幂运算的步骤 (1)有括号先算括号里的,无括号先算指数运算。 (2)负指数幂化为正指数幂的倒数。 (3)根式化成分数指数幂。 (4)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数,先化成假分数,然后尽可能用幂的形式表示,以便于使用指数运算性质。 提醒:指数幂运算的关键是对底数的变形,配凑出满足指数幂运算法则的形式 【变式训练】　计算下列各式: (1)=　　　　。  解析　原式=(=(=π3。 答案　π3 (2)+(1-)0--160.75=　　　　。  解析　+(1-)0--160.75=+1--1=+1--(24=+1--8=-7。 答案　-7 (3)·(a>0,b>0)。 解　原式=····=a0b0=。 类型二 利用指数幂的运算性质化简 　　【例2】　(1)式子(m>0)的计算结果为 (　　) A.1 B. C. D. 解析　原式=·÷==m0=1。 答案　A (2)化简下列各式。 ①(ab)-1·; ②。 解　①(ab)-1·=a-1·b-1·(a·b-1)3=··a3·==a2b-4。 ②原式==-a-1+2·b-3+3=-a。 　　(1)化简结果的一个要求和两个不能 (2)根式运算技巧 ①各根式(尤其是根指数不同时)要先化成分数指数幂,再运算。 ②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂。 提醒:对根式的化简不可出现直接将根指数与被开方数的指数相乘的错误,解题时要先化成分数指数幂,再运算 【变式训练】　(1)化简(a3÷()(a>0,b>0)结果为 (　　) A.a　　　 B.b C.　　　D. 解析　原式==a。 答案　A (2) (a>0,b>0) =　　　　。  解析　(由内向外化) = = = = ==(·=(=。 答案　 类型三 条件求值 　　【例3】　已知+=3,求下列各式的值: (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)。 解　(1)将+=3两边平方,得a+a-1+2=9,故a+a-1=7。 (2)将a+a-1=7,两边平方,得a2+a-2+2=49,故a2+a-2=47。 (3)原式= = =a+1+a-1=7+1=8。 　　解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值,但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值 【变式训练】　(1)已知x=,y=,求-的值; (2)已知1=a,1=b,1=c。求1的值。 解　(1)-=-=。 因为x=,y=, 所以原式==-24=-8。 (2)因为1=a,1=b,1=c, 所以1=a3,1=b-2, 1=a3·b-2·c=。 　 1.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为 (　　) A.15 B.17 C.35 D.37 解析　原式=-(10-2+-(-1)-1+1=-10+52+1+1=17。 答案　B 2.化简·4π为 (　　) A. B. C. D. 解析　·4π=·22π=。故选B。 答案　B 3.计算(2a-3)·(-3a-1b)÷(4a-4)得 (　　) A.-b2 B.b2 C.- D. 解析　原式=-a-3-1-(-4)·=-a0b2=-b2。故选A。 答案　A 4.若10x=3,10y=4,则102x-y=　　　　。  解析　102x-y===。 答案　 5.计算(或化简)下列各式: (1)··6; (2)-。 解　(1)原式=(22··(26 =··2-4 = =21=2。