第3章 1 指数幂的拓展 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第三章 指数运算与指数函数 §1　指数幂的拓展 　　 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式为P=。 在理解有理数指数幂的含义的基础上,通过具体实例了解实数指数幂的意义。 1.分数指数幂 (1)定义:给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=。 (2)意义(a>0,m,n∈N*,n>1,且m,n互素) 正分数 指数幂 = 负分数 指数幂 == 2.无理数指数幂 无理指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的正实数。 这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数。 　 微思考 1.为什么分数指数幂的底数规定a>0? 提示:(1)当a<0时,若n为偶数,m为奇数,则,无意义;若n为奇数,则,有意义。 (2)当a=0时,,a0无意义。 2.实数指数幂aα有意义的条件是什么? 提示:当a>0,α为任意实数值时,实数指数幂aα都有意义。 　 类型一 分数指数幂概念的理解 　　【例1】　(1)(x-1中x的取值范围是　　　　。  解析　由分数指数幂的意义可知x-1>0,解得x>1,故x的取值范围是{x|x>1}。 答案　{x|x>1} (2)把下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式: ①a3=54;②a3=(-2)8;③a-3=104m(m∈N+)。 解　①a3=54,所以a=。 ②a3=(-2)8=28,所以a=。 ③a-3=104m(m∈N+), 所以a=1=。 　　分数指数幂定义的应用 (1)将分数指数幂化为整数指数幂。 由a=(或b=),a>0,b>0,m,n∈N+可得am=bn。 (2)求指数幂的值。 ①观察是否符合分数指数幂的定义。 ②当bn=am时,转化为=b(m,n∈N+,a,b>0)求结果。 提醒:底数为分数,指数为负数时,可以直接将底数的分子分母颠倒,指数化为正,如= 【变式训练】　(1)(2-3x中x的取值范围是　　　　。  解析　要使(2-3x有意义,则需2-3x>0,即x<。 答案　 (2)若b-3n=5m(m,n∈N+),则b=　　　　。  解析　由b-3n=5m知b=。 答案　 类型二 根式与分数指数幂的互化 　　【例2】　把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0。 (1);(2);(3) ;(4) 。 解　(1)=。 (2)==。 (3)===。 (4)===a3。 　　分数指数幂与根式互化的三个注意点 (1)在中,a>0,m,n∈N+,写成根式时,n为根指数,m为a的指数 　　(2)去掉条件a>0,有时根式与分数指数幂也可以互化,如(-2==,但此时应注意根式要有意义。 (3)分数指数幂的意义来源于根式,而要使根式有意义,根指数必须是大于1的整数,同时要注意被开方数也要有意义。 提醒:根式化为分数指数幂时,要注意指数位置的分子与分母的位置不能颠倒 【变式训练】　(1)计算:①;②2。 (2)把下列根式化成分数指数幂。 ①;②(a>0);③b3·; ④。 解　(1)①因为23=8,所以==。 ②因为272=93,所以9=2,2==。 (2)①==(=。 ②===(=。 ③b3·=b3·=。 ④======。 　 1.计算+的值为 (　　) A.5 B.-1 C.2π-5 D.5-2π 解析　+=2-π+π-3=-1。故选B。 答案　B 2.化为分数指数幂为 (　　) A. B. C. D. 答案　B 3.若+(a-4)0有意义,则实数a的取值范围是　　　　。  解析　由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4。 答案　[2,4)∪(4,+∞) 4.x4=3,则x=　　　　。  解析　x4=3,所以x=±。 答案　± 5.指数源于整数乘法的简便运算。17世纪初,荷兰工程师司蒂文(Stevin)最早使用分数指数记号,以后又有人将其扩展到负指数,直到18世纪,英国数学家牛顿(Newton)开始用an表示任意实数指数幂。 若2<a<3,则+的化简结果是什么? 解　由于2<a<3,所以2-a<0,3-a>0。所以原式=a-2+3-a=1。 学科网（北京）股份有限公司 $