第1章 1.3 第2课时 全集与补集 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

第2课时　全集与补集 　　 某人请客,6位客人到了4位,主人焦急地说:“该来的不来。”顿时气走了2位,主人遗憾地叹息:“不该走的又走了。”又气走一位,主人更遗憾了,自言自语地说:“我又不是说他。”这么一来,剩下的这位脸皮再厚,也待不下去了。在这个故事中,客人们不自觉得使用了一个数学概念——补集。 1.在具体情境中,了解全集与补集的含义。 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集。 1.全集 定义:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示。 2.补集 自然语言 设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作∁UA 集合语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 ①A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀,∁U(∁UA)=A; ②∁UU=⌀,∁U⌀=U 微提醒 　∁UA的三层含义 (1)∁UA表示一个集合。 (2)A是U的子集,即A⊆U。 (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合。 　 微思考 　在集合运算问题中,全集一定是实数集吗? 提示:全集是一个相对性的概念,只包含研究问题中涉及的所有的元素,所以全集因问题的不同而异。 　 类型一 补集的运算 　　【例1】　(1)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM= (　　) A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} 解析　因为U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},由补集的定义,可知∁UM={3,5,6}。 答案　C (2)已知全集U=R,集合A={x|x<-2,或x>2},则∁UA=　　　　。  解析　如图,在数轴上表示出集合A,可知∁UA={x|-2≤x≤2}。 答案　{x|-2≤x≤2} 　　求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解。 (2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析法求解 【变式训练】　(1)设全集U=R,集合A={x|2<x≤5},则∁UA=　　　　。  解析　用数轴表示集合A为图中阴影部分, 所以∁UA={x|x≤2,或x>5}。 答案　{x|x≤2,或x>5} (2)设全集U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则∁UA=　　　　,∁UB=　　　　。  解析　解法一:在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,所以U={-5,-4,-3,3,4,5}。又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},所以∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}。 解法二:可用Venn图表示。 则∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}。 答案　{-5,-4,3,4}　{-5,-4,5} 类型二 并集、交集、补集的混合运算 　　命题方向1:借助Venn图进行运算 　　【例2】　设全集U={x|x是不大于9的正整数},A,B都是U的子集,(∁UA)∩B={1,3},(∁UB)∩A={2,4,8},(∁UA)∩(∁UB)={6,9},求集合A,B。 解　U={x|x是不大于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由(∁UA)∩B={1,3},(∁UB)∩A={2,4,8},(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={6,9},画出Venn图,如图所示,由图可知A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}。 　　从Venn图的角度讲,A与∁UA就是圈内和圈外的问题,由于(∁UA)∩A=⌀,(∁UA)∪A=U,所以可以借助圈内推知圈外,也可以反推 【变式训练】　设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分表示的集合是 (　　) A.{4} B.{2,4} C.{4,5} D.{1,3,4} 解析　图中阴影部分表示的集合在集合A中但不含集合B中的元素,故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB)。因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,3},所以∁UB={4,5}。因为A={2,4},所以A∩(∁UB)={4}。故选A。 答案　A 　　命题方向2:借助数轴进行运算 　　【例3】　已知集合U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB)。 解　如图所示。因为A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},所以∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},∁UB={x|x<-3,或2<x≤4}。所以A∩B={x|-2<x≤2},