第1章 1.3 第1课时 交集与并集 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修（第一册）（北师大2019）

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 　　某班有学生30人,他们的学号分别是1,2,3,…,30, 现有a,b两本新书,已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。用本节将要学习的知识探讨至少读过一本书或同时读了a,b两本书各有哪些同学。 理解两个集合之间的并集和交集的含义,能求两个集合的并集与交集。 1.交集 (1)文字语言:由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集。 (2)符号语言:A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 (3)图形语言:如图所示(阴影部分)。 2.并集 (1)文字语言:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集。 (2)符号语言:A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 (3)图形语言:如图所示(阴影部分)。 3.并集与交集的运算性质 (1)交集的性质 ①A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A。 ②A∩B⊆A,A∩B⊆B,(A∩B)⊆(A∪B)。 (2)并集的性质 ①A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A。 ②A⊆A∪B,B⊆A∪B。 ③A⊆B⇔A∪B=B。 　 微思考 1.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和? 提示:不一定等于。A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和。 2.当集合A与B没有公共元素时,能不能说集合A与B没有交集?若不能,又该如何表达? 提示:不能。当集合A与B没有公共元素时,集合A与B的交集为⌀,即A∩B=⌀。 　 类型一 交集的概念及运算 　　【例1】　 (1)若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为 (　　) A.{2}　　B.{3}　　C.{-3,2}　　D.{-2,3} 解析　易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2}。故选A。 答案　A (2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B= (　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 解析　 在数轴上表示出集合A与B,如图所示。 则由交集的定义知,A∩B={x|0≤x≤2}。故选A。 答案　A 　　求集合A∩B的常见类型 (1)若A,B的元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集。 (2)若A,B的元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,交集是点集。 (3)若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示 【变式训练】　(1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为 (　　) A.5　　　　B.4 C.3　　　　D.2 解析　分别令3n+2=6,8,10,12,14,只有3n+2=8,3n+2=14有自然数解,故A∩B={8,14}。故选D。 答案　D (2)已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N= (　　) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 解析　由得故M∩N={(3,-1)}。 答案　D 类型二 并集的概念及运算 　　【例2】　(1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B= (　　) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 解析　由定义知A∪B={1,2,3,4}。 答案　A (2)已知集合P=(-∞,3),Q=[-1,4],那么P∪Q= (　　) A.[-1,3) B.[-1,4] C.(-∞,4] D.[-1,+∞) 解析　在数轴上表示两个集合,如图,可得P∪Q=(-∞,4]。 答案　C 　　求集合并集的2种基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解。 (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解 【变式训练】　(1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B= (　　) A.{x|-1<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>-1} D.{x|x>1} 解析　由题意得A∪B={x|x>-1}。故选C。 答案　C (2)已知集合A={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则A∪B=　　　　。  解析　A∪B={0,2,4}∪{0,1,2,3,5}={0,1,2,3,4,5}。 答案　{0,1,2,3,4,5} 类型三 交集、并集的运算性质及应用 　　【例3】　已知A={x|2a≤