专题四 勾股定理与图形折叠-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题四、勾股定理与图形折叠 【专题导航】 目录 【考点一 勾股定理与三角形的折叠】............................................1 【考点二 勾股定理与矩形的折叠】..............................................2 【考点三 勾股定理与正方形的折叠】............................................5 【典例剖析】 【考点一 勾股定理与三角形的折叠】 勾股定理在有关图形折叠（翻折）计算的问题中的方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 模型1 模型2 模型3 模型4 【典例1-1】小宇手里有一张直角三角形纸片ABC，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使AC落在斜边AE上，且C点与E点重合,（如图）小宇经过测量得知两直角边AC=6cm,BC=8cm,他想用所学知识求出CD的长，你能帮他吗？ 【典例1-2】如图，在中，，D为上的一点，将沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，若，，求的长．    针对训练 【变式1-1】在中，，，M是边的中点，过点M作交于点P，交于点Q，试求三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式1-2】如图，中，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，求的长． 【变式1-3】如图，在中，，，，是边上的中线，点在边上运动，沿折叠得到，点落在上，求线段的长. 【考点二 勾股定理与矩形的折叠】 矩形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 【典例2-1】如图，长方形在平面直角坐标系中，，，折叠长方形使得点与点重合，折痕交于点、交于点，点的对应点为． (1)求点的坐标； (2)求折痕的长度． 【典例2-2】如图，在平面直角坐标系中，点，轴于点，轴于点，点是轴正半轴上动点，连接，将折叠得到，点与点对应，折痕为． (1)填空：______，______，______． (2)如图，的边与分别与交于点，，． ①求证：； ②求的长． (3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标． (3)连接，当是以为直角顶点的直角三角形时，直接写出点坐标． 【典例2-3】如图，长方形，点E是上的一点，将沿折叠后得到，且点O在长方形内部．已知，． (1)如图1，若，求四边形的面积． (2)如图2，延长交于F，连结，将沿折叠，当点D的对称点恰好为点O时，求四边形的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连结，将沿折叠，当点C的对称点恰好为点O时，求四边形的面积． 针对训练2 【变式2-1】如图，把长方形沿折叠，落在处，交于点E．已知．（长方形的对边相等，四个角都为直角） （1）求证：； （2）求的长； （3）请直接写出中上的高为_______． 【变式2-2】我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)已知，，求的长． 【变式2-3】．如图，在长方形中，，，将长方形沿直线折叠（点是折痕和边的交点），使点落在上的处． (1)请你利用尺规作图确定点和点．（保留作图痕迹，不写做法） (2)将图形补充完整，______． 【考点三 勾股定理与正方形的折叠】 正方形转化为直角三角形问题。在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 【典例3-1】如图，在边长为6的正方形中，E是边的中点，将沿对折至，延长交于点G，连接． (1) 求证： (2)求的长． 【典例3-2】如图，正方形 的边长是 ，点 在边 上，，点 是边 上不与点 ， 重合的一个动点，把 沿 折叠，点 落在 处．若 ，则 的长为____． 【典例3-3】如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为_____cm2． 针对训练3 【变