专题三 勾股定理证明及应用-2023年数学八年级暑假培训专题复习

数学八年级下暑假培优专题训练 专题三、勾股定理证明及应用 【专题导航】 目录 【考点一 勾股定理的证明】..................................................1 【考点二 判断三边是否能构成直角三角形】....................................3 【考点三 勾股定理的实际应用】..............................................5 【考点四 勾股树（数）】.....................................................7 【考点五 勾股定理与网格问题】.............................................8 【考点六 勾股定理与两点间的距离】.........................................9 【典例剖析】 【考点一 勾股定理的证明】 知识点①　勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【典例1-1】在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：，也可表示为：， 即由此推出勾股定理，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．    (1)请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）； (2)请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证； (3)请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：． 【典例1-2】如图，两个直角三角形的直角边a，b在同一直线上，斜边为c，请利用三角形和梯形面积公式验证勾股定理．    【变式1-1】下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明． 勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 已知：如图，直角三角形的直角边长分别为，，斜边长为． 求证：． 方法一 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 方法二 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为． 证明 【变式1-2】．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ． (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ．（结果为最简） (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在中，，三边长分别为a、b、c，已知，求的值． ②如图3，四边形中，对角线互相垂直，垂足为O，，在中，，若的周长为1，则的面积＝　 　． 【变式1-3】综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． (1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在中，，若，，，请你利用这个图形说明． (2)业余数学爱好者向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图2所示的方式放置，，，，．请你利用这个图形说明．(提示：连接，) 【考点二 判断三边是否能构成直角三角形】 知识点②如果三角形的三边长a，b，c满足+=，那么这个三角形就是直角三角形． 【典例2-1】．小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妺妺说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①，，；图形②，，．请你用所学知识判断：图形__________是直角三角形． 【典例2-1】．在四边形中，，． (1)如图1，若，，． ①连接，试判断的形状，并说明理由； ②连接，过作，交的延长线于点，求的面积； (2)如图2，若，，四边形的面积为，求的长． 【变式2-1】如图，线段和射线． (1)在的内部求作一点B，使得是等边三角形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若点C在射线上，，四边形的周长为16，，求证：是直角三角形． 【变式2-2】如图，以一边为直角边构造，且，，，． (1)求证：为直角三角形． (2)若点P为上一动点，连接，，求最小值． 【变式2-3】如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，