第18讲 二次函数的解析式的确定-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第18讲 二次函数解析式的确定 掌握利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法 重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法 模块一：一般式y = ax2 + bx + c ( a≠0 ) 1、 一般式（） （1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式； （2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式． 【例1】 已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）当x为何值时，？ 【例2】 已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、 B两点． （1）试确定该二次函数的解析式； （2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明理由； （3）求的面积． 模块二：顶点式y = a ( x + m )2 + k ( a≠0 ) 1、 顶点式：（） （1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标； （2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式； （3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式． 【例3】 已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解 析式． 【例4】 已知二次函数的图像过点（1，5），且当x = 2时，函数有最小值3，求该二次函 数的解析式． 【例5】 已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式． 模块三：交点式y = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( a≠0 ) 1、 交点式（） （1）交点式：（），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标； （2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式； （3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为； （4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为； （5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、； （6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式． 【例6】 已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标 为 3，求这个二次函数的解析式． 【例7】 已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，） 三点，求这个二次函数的解析式． 【例8】 已知二次函数的图形与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值， 求二次函数的解析式． 【例9】 已知二次函数的图像与x轴交于点A（，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且 ，求二次函数的解析式． 模块四：二次函数的平移 1、 几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系： ( 向上（ ）或向下（ ）平移 个单位 向上（ ）或向下（ ）平移 个单位 向左（ ）或向右（ ） 平移 个单位 向左（ ）或向右（ ） 平移 个单位 向左（ ）或向右（ ） 平移 个单位 并向上（ ）或向下（ ）平移 个单位 ) 2、 二次函数的平移 （1）将二次函数左右平移： 向左平移m个单位，函数解析式变为； 向右平移m个单位，函数解析式变为． （2）将二次函数上下平移： 向上平移n个单位，函数解析式变为； 向下平移n个单位，函数解析式变为． （3）通常，在平移前，将二次函数化成的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式． 【例10】 把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式． 【例11】 怎样平移抛物线，才能使它经过点M（，2）和N（1，）两点？ 【例12】 如图，已知经过原点的抛物线与x轴的另一交点为A，现将它向 右平移m（）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P． （1）求点A的坐标，并判断的形状（不要求说明理由）； ( O A P x y C D P ’ )（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并求出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设的面积为S，求S关于m的关系式． 模块五：二次函数的轴对称 1、 关于x轴对称： 关于x轴对称后，得到的解析式是； 关于x轴对称后，得到的解析式是． 2、 关于y轴对称： 关于y轴对称后，得到的解析式是； 关于y轴对称后，得到的解析式是． 【例13】 如果二次函数的图象与已知二次函数的图象