专题11 对数（九大题型）-2023年暑假初三升高一数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

专题11 对数 【题型归纳目录】 题型一：对数的定义 题型二：指数式与对数式互化及其应用 题型三：利用对数恒等式化简求值 题型四：积、商、幂的对数 题型五：一类与对数有关方程的求解问题 题型六：对数运算法则的应用 题型七：换底公式的运用 题型八：由已知对数求解未知对数式 题型九：证明常见的对数恒等式 【知识点梳理】 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【典例例题】 题型一：对数的定义 例1．（2023·高一课时练习）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2023·高一课时练习）给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2023·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式1．（2023·高一单元测试）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：指数式与对数式互化及其应用 例4．（2023·高一课时练习）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例5．（2023·全国·高一专题练习）下列对数式中，与指数式等价的是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 变式2．（2023·高一课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1); (2)； (3); (4)（且，）． 变式3．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化： (1); (2)； (3); (4). 变式4．（2023·全国·高一专题练习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． （1）； （2）； （3）． 题型三：利用对数恒等式化简求值 例7．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 例8．（2022·全国·高一专题练习）计算 (1) (2) 例9．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________． 变式5．（2022·贵州·遵义四中高一期末）______． 题型四：积、商、幂的对数 例10．（2023·高一课时练习）计算：log43×=____． 例11．（2023·高一课时练习）计算：____． 例12．（2023·辽宁大连·高一阶段练习）计算：______． 变式6．（2023·湖北十堰·高一校联考阶段练习）__________． 变式7．（2023·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）计算结果是_． 题型五：一类与对数有关方程的求解问题 例13．（2023·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）方程的解为___________. 例14．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）设、是关于x的方程的两个实