第十八讲 函数的应用 （精讲）（同步讲义）2023年初高中衔接素养提升专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第十八讲 函数的应用 （精讲）（原卷版） 【知识点透析】 一、一次函数模型 1、一次函数为： 2、求最值的方法：常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 3、解决实际应用问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如图： 二、二次函数模型 1、二次函数：形如 2、求最值的方法：在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 3、解决实际应用问题的注意事项 （1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型． （2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． （3）注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 三、幂函数模型 幂函数模型为 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)， 在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题. 四、分段函数模型 1、分段函数的定义域：对应每一段自变量取值范围的并集． 2、分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 【知识点精讲】 题型一 一次（反比例）函数模型 【例题1】．（2021·河南南阳高一专题检测）一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（　　） A． B． C． D． 【例题2】（2022·湖南娄底高二月考）某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程． 【例题3】．（2021·四川宜宾高一课时检测）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 【变式1】．（2022·湖南娄底高二学业考试）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（ ）（默认y>x） A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 【变式2】．（2022·湖南长沙高一检测）为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度： 第一套 第二套 椅子高度 40.0 37.0 课桌高度 75.0 70.2 （1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 题型二 二次函数模型 【例4】（2022·四川巴中高一检测）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ） A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元 【例题5】．（2021·四川绵阳高一专题检测）某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)． A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 【例题6】．（2022·河北衡水高一课时检测）把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2021·江苏苏州高一专题检测）若矩形的一边长为，周长为，则当矩形面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·江苏南京高一专题检测）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克. （1）求的值； （2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售