第十七讲 幂函数（精讲）（同步讲义）2022学年初高中衔接素养提升专题讲义

2022学年初高中衔接素养提升专题讲义 第十七讲 幂函数（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 一、幂函数的图象与概念 1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数． 对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 3、幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 二、幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 【知识点精讲】 考点一 幂函数的定义 【例题1】．（2022·河北邢台高一专题检测）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】．（2021·江苏无锡高一阶段检测）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2022·山东威海高一课时检测）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【变式2】（2022·山西太原高一课时检测）下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【变式3】．（2021·银川二中高一月考试题）若为幂函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 题型二 幂函数的解析式和定义域 【例题3】（2020·河北石家庄高一期中）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____. 【例题4】．（2020·河北石家庄高一期中）已知点在幂函数的图象上，则的表达式______________，f(3)=________. 【例题5】．（2021·山东青岛高一专题检测）5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（    ） A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤ 【例6】（2021·云南曲靖高一专题检测）函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（2022·河南郑州高一课时检测）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． 【变式2】．（2022·湖北黄冈高一单元测试）已知幂函数为奇函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围. 【变式3】．（2022·云南昆明高一单元测试）已知幂函数为偶函数， (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值． 【变式4】．（2022·山东烟台高一专题检测）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．为减函数 题型三 幂函数的值域问题 【例题7】．（2022·福建师大附中高三阶段检测）已知为幂函数， 且， 则 A． B． C． D． 【例题8】．（2022·河北沧州高一专题检测）下列函数中，值域是的函数是（    ） A． B． C． D． 【例9】（2022·甘肃景泰二中高一专题检测）函数在区间[－4，－2]上的最小值是____． 【变式1】．（2021·浙江绍兴高一专题检测）设，则使函数的值域为R且为奇函数的所有a值为（    ） A．1，3 B．，1 C．，3 D．，1，3 【变式2】．（2021·江苏·南京市第三高级中学高一期中）以下函数，，，中，值域为的函数共（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】．（2021·江苏无锡高一检测）已知幂函数的图象经过，则（    ） A．3 B． C． D．1 【变式4】．（2021·陕西榆林高一检测）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ） A．1 B． C． D． 题型四 幂函数的单调性 【例题10】．（2021·吉林·梅河口市第五中学高一期中）若幂函数的图象过点（16，8），则的解集为（ ） A．（–∞，0）∪（1，+∞） B．（0，1） C．（–∞，0） D．（1，+∞） 【例题11】（2022·四川广元高一学业考试）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围. 【例题12】．（2020·福建·厦