第十六讲 函数的奇偶性（精讲）（同步讲义）2023年初高中衔接素养提升专题讲义

2022学年初高中衔接素养提升专题讲义 第十六讲 函数的奇偶性（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 一、函数奇偶性的定义 1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称 2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。 偶函数的性质：，可避免讨论． 二、判断函数奇偶性的常用方法 1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. 4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 5、分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 【知识点精讲】 题型一 函数奇偶性的判断 【例题1】．（2022·四川德阳高一课时检测）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题2】．（2022·上海浦东高一期末）若函数的定义域为，则为偶函数的一个充要条件是（ ） A．对任意，都有成立； B．函数的图像关于原点成中心对称； C．存在某个，使得；D．对任意给定的，都有. 【例题3】（2022·河北沧州高一课时检测）下列函数中：①②③④偶函数的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2022·湖北武汉高三开学考试）判断下列函数的奇偶性: （1）; （2）; 【变式2】．（2022·福建·福州十八中高一开学考试）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2023·云南大理高三开学考试）已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【变式4】（2022·江西萍乡高三开学考试）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 题型二 利用奇偶性求值或者比较大小 【例题4】．（2022·甘肃临夏·高二期末（理））设为定义在R上的偶函数，且当时，，则（    ） A．e-1 B．-2e-2 C．2e-1 D．2e-2 【例题5】（2022·甘肃景泰二中高二期末（理））已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题6】．（2022·四川成都高一专题检测）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2021·河南·高三开学考试（文））已知函数，若，则（    ） A． B． C．0 D．3 【变式2】．（2022·江苏无锡高一单元测试）已知定义在上的奇函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型三 利用奇偶性求参数 【例题7】．（2022·湖南益阳·模拟预测）若为奇函数，则__________． 【例题8】．（2022·江苏常州高一检测）设为常数，函数.若为偶函数，则_________. 【变式1】．（2022·广东汕头·高一期末）函数是偶函数，且它的值域为，则__________． 【变式2】．（2023·宁夏银川二中高三专题模拟）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 题型四 函数奇偶性的性质及其应用 【例题9】．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知是定义在上的函数，则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题10】．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段检测）函数 的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【例题11】．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________． 【例12】．（20