第十五讲 函数的单调性（精讲）（同步讲义）2023年初高中衔接素养提升专题讲义

2022学年初高中衔接素养提升专题讲义 第十五讲 函数的单调性（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 一、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 二、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)． 2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 三、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 四、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。 五、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 六、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【知识点精讲】 知识点一 函数单调性的判定与证明 【例题1】（2021山东烟台高一课时检测）若函数的定义域为，且满足，则函数在上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 【例题2】．（2021陕西宝鸡高一检测）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ） A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 【例题3】．（2020·陕西·榆林市第十中学高三期中（理））已知. (1)求的解析式；(2)试用函数单调性定义证明：在上单调递增. 【例题4】．（2022·山西吕梁高一课时检测）已知函数，判断并证明在区间上的单调性． 【变式1】（2022山东威海高一检测）设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2022四川成都高一检测）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】．（2021·全国高一课时练习）已知函数． （1）求不等式的解集； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明． 【变式4】（2021山东青岛高一课时练习）用单调性定义证明：函数在上为增函数． 题型二