第十二讲 基本不等式（精讲）（同步讲义）2023年初高中衔接素养提升专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第十二讲 基本不等式（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 一、基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 二、用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 【知识点精讲】 题型一 对基本不等式的理解 【例题1】．（2022·安徽安庆高三阶段检测）已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（       ） A． B． C． D． 【例题2】．（2021·山东省日照实验高级中学高一检测）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D．2 【例题3】（2021·河南安阳高一检测）（多选）设a＞0，b＞0，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（2020·辽宁大连市一0三中学高一检测）设，则下列不等式中成立的是） A． B． C． D． 【变式2】．（2022·贵州贵阳一中高一期中）已知a>0，b>0，则，，，中最小的是（     ） A． B． C． D． 题型二 利用基本不等式直接求最值 【例题4】（2022·河南南阳高一检测）已知，且，则的最大值为 A．2 B．5 C． D． 【例题5】．（2023河北保定月考）已知，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【例题6】．（2023·江苏扬州市·仪征市第二中学高一月考）若，则函数的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例题7】、（2021湖南长沙高二期中）函数的最小值为　　 A．1 B．2 C． D．3 【例题8】．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段检测）已知，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例题9】（2022·云南曲靖一中高一专题检测）已知正数a，b满足，求的最小值． 【例题10】．（2021·云南曲靖一中高一专题检测）已知，，且，则下列结论中正确的是（ ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值2 【变式1】．（2022·铜山启星中学高一月考）设则的最大值是（ ） A．3 B． C． D． 【变式2】．（2021·广东潮州高一检测）已知实数，且，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【变式3】．（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知，，且，则的最大值是（ ） A．1 B． C．3 D．5 【变式4】．（2022·湖南周南中学高一检测）已知，，且，则的最小值为（       ） A．8 B． C．9 D． 【变式5】．（2021·天津市实验中学滨海学校高一阶段检测）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时24元. (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 题型三 基本不等式的证明 【例题11】．（2022·河南师大附中高二阶段检测（理））（1）已知a，b，c，为不全相等的正数，求证：． （2）已知a，b，为正数且，求证：． 【例题12】（2022甘肃白银高一专题练习）已知a、b、c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【变式1】．（2021·河南·范县第一中学高一阶段检测）已知，，，求证： (1)；(2). 【变式2】．（2022·全国高一专题练习）已知：a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 题型四 与基本不等式有关的恒成立问题 【例题13】．（2022·江西·进贤县第一中学高一期末）已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例题14】．（20