第十一讲 不等式的性质（精讲）（同步讲义）2023年初高中衔接素养提升专题讲义

2023年初高中衔接素养提升专题讲义 第十一讲 不等式的性质（精讲）（原卷版） 【知识点透析】 一、等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 三、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． 作差法： 1. ①；②；③. 作商法： 任意两个值为正的代数式、 ①；②；③. ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 【知识点精讲】 题型一 比较大小 【例题1】．（2022·河南郑州高一单元测试）设，，则与的大小关系是（       ） A． B． C． D．无法确定 【例题2】．（2022·河北石家庄高一单元测试）已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【例题3】．（2022·四川德阳高一课时检测）设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（       ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【例题4】．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））设，，则的大小关系是（        ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】 （2022·四川泸州高一课时检测）比较大小：　　．（填写“”或“” 【变式2】（2022·张家口市第一中学高一月考）已知，，，，则M与N的大小关系是（ ） A． B． C． D．不能确定 【变式3】（2022·湖北武汉高一课时检测）已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 题型二 不等式性质的应用 【例题5】．（2022·河南驻马店·高二期末（理））若，且，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【例题6】．（2022·山西太原一中高一期末）若，，则一定有（       ） A． B． C． D． 【例题7】．（2021·四川达州高一检测）若，，则下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【例题8】．（2022·云南昆明一中高一单元测试）若，则下列不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】．（2021·北京高二期末）若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．．（2021春•资阳期末）若，则下列不等式中一定成立的是　　 A． B． C． D． 【变式3】．．（2020·上海财经大学附属中学高一期中），，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式4】．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型三 利用不等式求取值范围 【例题9】．（2022·甘肃天水一中课时检测）已知，，则的范围是 A． B． C． D． 【例题10】．（2022·云南曲靖一中高一课时检测）已知，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例题11】．（2021·福建·福州三中高一阶段检测）已知，则的取值范围为_________ 【例题12】．（2022·陕西汉中高一课时检测），，，，设，则下列判断中正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】．（2021·银川二中高一检测）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（2021·全国高一课时练习）若1<a<3，－4<b<