第22章 相似形 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

第２２章　相似形 １５７　 0  0 考前复习笔记 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①D　②E　③B　④C　⑤G　⑥F　⑦F　⑧A 数学　九年级　上册 １５８　 0  0 　 专题一　 相似三角形的判定和性质 的综合应用 　　相似三角形的性质和判定是本章的 重点内容,要掌握三角形相似的判定方 法,并会用相似三角形的性质进行有关 的计算和推理． 相似三角形的判定:①两角分别相 等;②两边成比例且夹角相等;③三边成 比例．若两个三角形具备以上三个条件中 的其中一个,则这两个三角形相似． 相似三角形的性质:①对应角相等; ②对应边成比例;③对应高的比、对应角 平分线的比和对应中线的比等于相似 比;④周长的比等于相似比;⑤面积的比 等于相似比的平方． 【例１】如图所示,在△ABC 中,BC＞AC, 点D 在BC 上,且 DC＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F,点E 是 AB 的中点,连接EF． A B CD E F (１)求证:△AEF∽△ABD． (２)若四边形 BDFE 的面积为６,求 △ABD 的面积． 思路分析 (１)先 得 到 点 F 是AD 的 中 点,再得到 EF 是 △ABD 的 中 位 线, 最后判定相似即可; (２)利用相似三角形面积的比等于相 似比的平方求△ABD 的面积． (１)证明 因为DC＝AC,∠ACB 的平分 线CF 交AD 于点F, 所以F 为AD 的中点． 因为点E 是AB 的中点, 所以EF 为△ABD 的中位线, 所以EF＝ １ ２BD ,EF∥BD, 所以△AEF∽△ABD． (２)解 由(１),知EF∶BD＝１∶２, 所以S△AEF∶S△ABD＝１∶４, 所以S△AEF∶S四边形BDFE＝１∶３． 因为四边形BDFE 的面积为６, 所以S△AEF＝２, 所以S△ABD＝S△AEF＋S四边形BDFE＝２＋ ６＝８． " 利用相似求三角形面积的策略 要求大三角形的面积,若已知两 个三角形的相似比和两个三角形的面 积差,一般先利用相似三角形的面积 比等于相似比的平方,求出小三角形 的面积,再求大三角形的面积． 　 专题二　 相似三角形在实际问题中 的应用 　　学习数学的目的是将知识应用到实 际问题中,而相似三角形知识在测量高 度、距离等方面就显示了它的重要作用． 解决此类问题的关键是从实际问题中构 造出相似三角形的模型,再利用相似三 角形的性质求解． 第２２章　相似形 １５９　 0  0 【例２】一天,某校数学课外活动小组的 同学们带着皮尺去测量某河道因挖沙 形成的圆锥形坑的深度,以此来评估 这些沙坑对河道的影响．同学们选择 (确保测量过程中无安全隐患)的测量 对象如图所示,测量方案如下: A B C S (１)先测量出沙坑坑沿圆周的周长约 为３４．５４m; (２)甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平 面上,适当调整自己所处的位置,当他 位于点B 时,他的视线恰好经过沙坑坑 沿圆周上的一点A 看到坑底S(甲同学 的视线起点C 与点A,S 三点共线),经 测量:AB＝１．２m,BC＝１．６m． 根据以上测量数据,求圆锥形坑的深 度(圆锥的高)．(π取３．１４,结果精确到 ０．１m) 解 如图,取圆锥底面圆圆心O,连接OS, OA,则∠O＝∠ABC＝９０°． O AO B C S 因为OS∥BC, 所以∠ACB＝∠ASO． 所以△SOA∽△CBA． 所以 OS BC＝ AO AB． 所以OS＝ AO􀅰BC AB ． 因为AO＝ ３４．５４ ２π ≈ ３４．５４ ２×３．１４＝５．５ (m), BC＝１．６m,AB＝１．２m, 所以OS＝ ５．５×１．６ １．２ ≈７．３ (m), 即圆锥形坑的深度约为７．３m． " “三步法”求解实际测量问题 第１步:找出相似的三角形． 第２步:根据对应边成比例列方程． 第３步:代入已知数据,求出实际问题 的答案． 其中,作辅助线构造出相似三角形是 解决实际问题的关键． 　 专题三　 位似变换与平移、轴对称的 综合应用 　　位似、平移、轴对称都是图形变换的 基本形式,它们的本质区别在于:平移、 轴对称这两种变换都是全等变换,而位 似变换是相似变换． 【例３】如图(每个小正方形的边长是１个 单位),在△ABC 中,A(０,－２),B(３, －１),C(２,１)．将△ABC 进行下列变 换,画出相应的图形,并指出三个顶点 所发生的变化． (１)沿y 轴负半轴向下平移３个单位; (２)关于y 轴对称; 数学　九年级　上册 １６０　 0  0 (３)以点B 为位似中心放大到原来的 ２倍． x y A BO C 解 (１)如图,将△ABC 沿y 轴负半轴向 下平移３个单位后,得到△A１B１C１, A１