第22章 方法专题 与相似三角形有关的辅助线的作法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 １５４　 0  0 方法专题 当问题的条件不够时,可以添加辅 助线构成新图形,形成新关系,把分散的 条件集中,建立已知与未知的桥梁,把原 本不能(或不易)解决的问题变成能(或 容易)解决的问题．本章中,添加辅助线, 往往能构成一组或多组相似三角形,可 以得到比例线段或等角、等边等,添加的 辅助线可以是平行线、垂线、延长线、中 线、中位线等． １．作平行线构造相似三角形 A B C D F N 【例１】如图,已知点 F 在 AB 上,且 AF ∶ BF＝１∶２,点 D 是 BC 延 长 线 上 一 点, BC∶CD ＝２∶１,连 接FD,与AC 交于点N,求FN∶ND 的值． 思路分析 知条件　AF∶BF＝１∶２,BC∶CD＝ ２∶１． 明方法　作平行线构造相似三角形． 解 解法一 如图,过点F 作FE∥BD,交 AC 于点E,易证△AFE∽△ABC, E A B C D F N 所以 FE BC＝ AF AB． 因为AF∶BF＝１∶２, 所以 AF AB＝ １ ３ , 所以 FE BC＝ １ ３ ,即FE＝ １ ３BC． 因为BC∶CD＝２∶１, 所以CD＝ １ ２BC． 因为FE∥BD, 所以△NFE∽△NDC, 所以 FN DN＝ FE DC＝ １ ３BC １ ２BC ＝ ２ ３ , 即FN∶ND＝２∶３． 解法二 如图,连接CF,AD． A B C D F N 因为AF∶BF＝１∶２,BC∶CD＝２∶１, 所以 BF AB＝ BC BD＝ ２ ３． 因为∠B＝∠B, 所以△BCF∽△BDA, 所以 FC AD＝ BC BD＝ ２ ３ ,∠BCF＝∠BDA, 所以FC∥AD, 第２２章　相似形 １５５　 0  0 所以△CNF∽△AND, 所以 FN DN＝ CF AD＝ ２ ３ , 即FN∶ND＝２∶３． ２．作垂线构造相似三角形 【例２】如图所示,在等腰三角形 ABC 中,AB＝AC＝１０cm,BC＝１６cm．点 D 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速 运动,同时点E 由点B 出发沿BC 方 向向点C 匀速运动,它们的速度均为 １cm/s．连接 DE,设运动时间为t(s) (０＜t＜１０),解答下列问题: (１)当t 为何值时,△BDE 的面积为 ７．５cm２? (２)在点 D,E 的运动过程中,是否存 在时间t,使 得 △BDE 与 △ABC 相 似? 若存在,请求出对应的时间t;若 不存在,请说明理由． A D B E C 思路分析 知条件　AB＝AC＝１０cm,BC＝１６cm． 点D 和点E 的速度都是１cm/s． 明方法　作垂线构造相似三角形． 解 (１)分别过点D,A 作DF⊥BC,AG⊥ BC,垂足为F,G,如图所示, F G A D B E C 所以DF∥AG, DF AG＝ BD AB． 因为AB＝AC＝１０cm,BC＝１６cm, 所以BG＝８cm, 所以AG＝６cm． 因为AD＝BE＝tcm, 所以BD＝(１０－t)cm, 所以 DF ６ ＝ １０－t １０ , 解得DF＝ ３ ５ (１０－t)． 因为S△BDE＝ １ ２BE 􀅰DF＝７．５, 所以 ３ ５ (１０－t)􀅰t＝１５, 解得t＝５． 答:当t 为５s时,△BDE 的面积为 ７．５cm２． (２)存在． 当BE＝DE 时,△BDE∽△BCA, 所以 BE BA＝ BD BC , 即 t １０＝ １０－t １６ , 解得t＝ ５０ １３． 当BD＝DE 时,△BDE∽△BAC, 所以 BE BC＝ BD BA , 即 t １６＝ １０－t １０ , 解得t＝ ８０ １３． 所以 当 时 间t 为 ５０ １３s 或 ８０ １３s 时, △BDE 与△ABC 相似． 数学　九年级　上册 １５６　 0  0 ３．作中线或中位线构造相似三角形 【例３】如图,在 △ABC 中,AB ＝AC, AD⊥BC 于D,作 DE⊥AC 于E,F 是AB 的 中 点,连 接 EF,交 AD 于 点G． A F G E B D C (１)求证:AD２＝AB􀅰AE． (２)若AB＝５,AE＝４,求DG 的值． 思路分析 知条件　AB＝AC,AD⊥BC,DE⊥ AC,F 是AB 的中点． 明方法　作中位线 DF,构造相似三 角形． (１)证明 因为AD⊥BC,DE⊥AC, 所以∠ADC＝∠AED＝９０°． 因为∠DAE＝∠CAD, 所以△ADE∽△ACD, 所以AD∶AC＝AE∶AD, 所以AD２＝AC􀅰AE． 又因为AB＝AC, 所以AD２＝AB􀅰AE． (２)解 连接DF,如图所示, A F G E B D C 由(１),得AD２＝AB􀅰AE, 所以AD２＝AB􀅰AE＝５×４＝２０, 所以AD＝２５． 因为AB＝A